Übersicht:
• Zusammenfassung.
• Herkunft und Kindheit.
• Jugend und heranwachsenden Zeit.
• Exkurs: Die Universität Kasan zur Zeit Lobatschewskis.
• Lobatschewski 1807 im Alter von 14 Jahren immatrikuliert.
• Kortaschewski von Jakowkin vertrieben - Kasans Uni ohne Mathematik.
• Johann Christian Martin Bartels durch Gauß nach Kasan empfohlen.
• Der junge Rebell.
• Akademische Karriere im Lebensverlauf.
• Dokumente aus Lobatschewskis Schriften:
• Negatives Gutachten zum Lehrbuch der Geometrie 1823 (1898 wieder gefunden und 1909 veröffentlicht).
• Fußnote über eine beleidigende Kritik 1834.
• Einleitung Imaginäre Geometrie 1835.
• Inhalt Imaginäre Geometrie und Anwendung der imaginären Geometrie auf einige Integrale.
• Inhaltsverzeichnis Pangeometrie (1856).
• Pangeometrie: Die ungenügende Begründung der gewöhnlichen Parallelentheorie.
• Lobatschewski als Lehrer und Pädagoge.
• Ausgangsbasis: 1919-1926 Restauration und geistige Inquisition in der Ära Magnizki.
• Aus der Rede vom 17. Juli 1828 "Über die wichtigsten Fragen der Erziehung".
• Einsicht in die enorme Bedeutung der Lehrer-Fort- und Weiterbildung.
• Vorlesungs- und Unterweisungskonzeption.
• Sokratische Methodik.
• Ehe, Familie und Kinder.
• Alter, Lebensende und Tod.
• Rätsel um Lobatschewskis letzte Jahre und Ende.
• Lobatschewskis Persönlichkeit.
• Würdigung.
• Stimmen über Lobatschewski.
• Die Meinung der ihn umgebenden zeitgenössischen Wissenschaftler und Mathematiker.
• Gauß 1846: "... auf eine meisterhafte Art in ächt geometrischem Geiste".
• Die Rezension 1840 in Gersdorfs' Repertorium der gesammten deutschen Literatur und einem inoffiziellen Kommentar Gaussens vom 8.2.1844.
• Auswahl 'Ahnengalerie' zur Geschichte der Parallellinien.
• Vorgeschichte und Geschichte der Anerkennung der nichteuklidischen Geometrie.
• Zum Verständnis des Parallelenaxioms und der nichteuklidischen Geometrie nach Meschkowski.
• Die fünf Postulate Euklids.
• Sätze der Nichteuklidischen Geometrie nach A. Filler.
• Psychologie der Forschungsleistung.
• Was 'ist' eigentlich ein 'Dreieck'?
• Wie kann man das fünfte Postulat Euklids in Zweifel ziehen und seine Nichtgültigkeit denken?
• Anschauungsargument 1: Müssen zwei geneigte Gerade im Unendlichen zusammentreffen?
• Anschauungsargument 2: Müssen Fortlaufende G1, G2 immer einen Anfang oder ein Ende haben?
• Die Forschungsleistung Lobatschewskis.
• Literatur (Auswahl):
• Werke von Lobatschewski.
• Werke von Lobatschewski in deutscher Sprache.
• Biographische Literatur.
• Literatur zur Geschichte des Parallelen-Postulats und der nichteuklidischen Geometrie.
• Einführungen in die nichteuklidische Geometrie von Lobatschewski.
• Links (Auswahl: beachte) zu den verschiedenen Geometrien und ihrer Bezeichnungen.
• Die verschiedenen Geometrien und ihre unterschiedlichen Bezeichnungen.
• Zusammenhänge in der Mathematik und ihrer Teilgebiete.
• Querverweise.

Zusammenfassung.

Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski wurde am 20. November 1792 in Nishni-Nowgorod (Sibirien), heute Gorki, geboren. Sein Vater verließ die Familie als er fünf war. Hochbegabt wird er nach kurzer rebellischer Entwicklung bereits 1812 mit 19 Magister und Dozent für Mathematik (Titel 1814) und 1816 im Alter von 24 als außerordentlicher Professor berufen, Dekan (1820) und Rektor (1827-1846) der 1805 gegründeten Universität Kasan, geadelt 1837, mit Gauß und Bolyai einer der Begründer und Erst-Veröffentlicher (1826) einer nichteuklidischen (hyperbolischen) Geometrie, angewendet, ausgebaut und weiter entwickelt durch Beltrami, Klein, Riemann , Poincaré und neben anderen Anwendungen in der Relativitätstheorievon Einstein genutzt. Im letzten Lebensjahrzehnt Opfer von Intrigen und die letzten Lebensjahre schwer erkrankt, erblindet und motorisch beeinträchtigt starb er am 12.2.1856 in Kasan an einer Lungenparalyse, die beantragten 1500 Silberrubel für eine Klinikbehandlung in Moskau wurden zu spät bewilligt.
 

"§ l  Die ersten Begriffe, mit denen eine Wissenschaft, welche es auch sei, beginnt, müssen klar und auf die kleinste Zahl zurückgeführt sein. Nur dann können sie für das Lehrgebäude eine feste und genügende Grundlage bilden. Begriffe dieser Art werden durch die Sinne erworben; auf angeborene darf man sich nicht verlassen."    Links: Die "Anfangsgründe ..." in deutscher Übersetzung 1840. Hieraus obiges Zitat. Kritik 1840. Rechts: Titelblatt Vorgestellte Geometrie 1835 (B1, S.33)

Herkunft und Kindheit

Die Kindheit von Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski wird als freudlos beschrieben. Der Vater, Registrator Iwan Maksimow Lobatschewski, habe wenig gearbeitet und viel getrunken. Die Mutter Praskowja Aleksandrowna wird von den Biographen (B1)  - im Gegensatz zu Engel - als eine junge, energische aber wenig gebildete Frau geschildert, die nur schwer mit dem wenigen Geld zurechtgekommen sei und ihre Ehe für unglücklich gehalten habe. Die Biographen [B1] schreiben: "Eine unerwartete Unterstützung kam in dieser Situation von Seiten des Nishni-Nowgoroder Landmessers Sergej Stepanowitsch Schebarschin. Er hatte Praskowja Aleksandrowna mit ihrem zukünftigen Mann bekannt gemacht und kannte die Familienverhältnisse. Schebarschin kaufte ein kleines Haus, das er Praskowja Aleksandrowna zum Geschenk machte. Er siedelte sich in der Nachbarschaft an und nahm lebendigen Anteil an der Erziehung der drei Kinder. Für einige Zeit war Praskowja Aleksandrowna dadurch von der ständigen Sorge um ein Stück Brot erlöst." Im Oktober 1797 verstarb Schebarschin und hinterließ der Familie Lobatschewski eine kleine Erbschaft. Der Vater Iwan Maksimowitsch habe zu dieser Zeit hunderte von Kilometern von Nishni-Nowgorod entfernt in Ufa gearbeitet und sich nicht mehr um seine Kinder und Familie gekümmert. Aus dem Jahre 1811 stammt die letzte Nachricht über den Vater. Die Familie habe von ihm keine Nachricht und kein Geld mehr erhalten. Praskowja Aleksandrowna habe dann ihren bescheidenen Besitz verkauft und sei mit ihren drei Kindern Aleksander, Nikolai und Aleksei zu ihren Eltern zurück in die Kleinstadt Makarjew gekehrt.
    Psychologisch fällt auf, daß die Biographen sehr einseitig die Schuld an den Vater delegieren; mögliche Anteile der Mutter bleiben im Dunkeln. Immerhin: sie hätte nicht mit Geld umgehen können, wurde vom Landmesser vermittelt, dieser soll sich sehr um die Kinder gekümmert haben und hat ihr auch eine kleine Erbschaft gemacht.
    Sodann habe, wie die Biographen [B1] etwas melodramatisch berichten, Schebarschin, "bereits im Sterben liegend, Praskowja Aleksandrowna gebeten, sich stets um die Erziehung der Kinder zu kümmern. Das Schulwesen war im damaligen Rußland sehr schlecht entwickelt. Im Jahre 1802 brachte Praskowja Aleksandrowna ihre drei Söhne, den 11jährigen Aleksander, den 9jährigen Nikolai und den 7jährigen Aleksei, nach Kasan, wo kurz zuvor ein Gymnasium eröffnet worden war. Neben den Kindern von Adeligen wurden damals in die Gymnasien auch schon. Kinder von Beamten aufgenommen. Iwan Maksimowitsch Lobatschewski besaß den staatlichen Rang eines Kollegienregistrators, der dem ersten Offiziersrang entsprach. Damit hatten seine Kinder die Möglichkeit zum Schulbesuch."
    Alle drei Brüder bestanden die Aufnahmeprüfungen und sie wurden auf Beschluß des Rates des Kasaner Gymnasiums am 5. November 1802  in das Gymnasium aufgenommen werden, "später sogar auf Staatskosten und mit vollem Pensionat." Für die Gymnasiasten sollen die Tage recht gleichförmig verlaufen sein: " Zum Gebet, zum Frühstück, zum Unterricht — überallhin mußte in Reih und Glied marschiert werden. Es war verboten, persönliche Sachen und Geld aufzubewahren, Essen oder auch Süßigkeiten zu kaufen, Briefe an die eigenen Verwandten zuzukleben, weil der Aufseher diese Briefe vor dem Abschicken lesen mußte. Die Aufseher lasen aber nur jeden fünften oder sechsten Brief, da sie zum Lesen aller Briefe zu bequem waren. Lobatschewski hatte im Gymnasium hauptsächlich bei dem Tataren N. M. Ibragimow, einem Absolventen der Moskauer Universität, Unterricht, und zwar in Arithmetik, Algebra, altslawischer und russischer Sprache. Das war ein in Kasan recht bekannter Dichter, ein Mensch mit einer hohen Kultur, der mehrere Sprachen beherrschte und der die russische Literatur liebte. Später arbeitete er als Adjunkt am Lehrstuhl für russische Sprache. Die von Natur aus wißbegierigen Brüder Lobatschewski lernten leidenschaftlich, sie fanden Gefallen am Prozeß des Erkennens. Nikolai, der mittlere Bruder, liebte besonders die Mathematik", was die Biographen wie folgt erklären: "Sein Mathematiklehrer war in der Abschlußklasse" - damals gab es nur drei Klassenstufen an russischen Gymnasien - "Grigori Iwanowitsch Kortaschewski - ein junger, sehr talentierter und hochgebildeter Absolvent der Moskauer Universität. Er war ein sehr erfahrener Pädagoge, kannte Sprachen, die Literatur und — vor allem — die Geschichte seines Faches. Kortaschewski unterrichtete seine Schüler nach einem eigenen Lehrplan. Er machte sie nicht nur mit der Mathematik bekannt, sondern auch mit der Geschichte ihrer Entstehung und Entwicklung. Kortaschewski war der Auffassung, daß in der Geschichte jeder Wissenschaft ein Augenblick komme, wo es erforderlich sei, einmal stehenzubleiben, alles zu sammeln, das bereits Bekannte und Entdeckte zu systematisieren, und erst danach die Entwicklung weiter voranzutreiben.
Solche Gedanken flossen natürlich auch in seinen Unterricht ein und formten die Vorstellungen seiner Schüler von der Geschichte der Mathematik.
Lobatschewski erhielt also bereits in der Abschlußklasse des Gymnasiums einen guten Mathematikunterricht. Das sollte sich dann auch in der Universität fortsetzen." (B1, S. 17f) Diese Ausführungen zeigen doch sehr überzeugend, von welch kaum zu überschätzender Bedeutung die richtigen LehrerInnen sind oder sein können und bestätigen all die Mathematiker, die sich sehr für die Erziehung und Schulbildung einsetzten, wie z.B. Felix Klein und viele andere (aber).

Geschwister- und Familienkonstellation Lobatschewskis

Nikolai bekleidet innerhalb der Geschwisterreihe eine mittlere Position. Alle Brüder besuchten das Gymnasium in Kasan und waren dort, wie oben ausgeführt, in einer streng reglementierten 'Kadettenanstalt'. Die Trennung von der Mutter erfolgte für Nikolai im Alter von 9. Der Vater trennte sich 1897 von der Familie, Nikolai war damals 5 Jahre alt. Die Biographen (B1, S. 81) berichten, daß es 1811 die letzte Nachricht über den Vater, der in Ufa lebte, gegeben habe. Sein älterer Bruder Aleksander Iwanowitsch  (1790 — 1807) studierte von 1805 an der Universität Kasan. Während des Studiums ertrank er im Sommer 1807 beim Baden im Fluß Kasanka, einem Nebenfluß der Wolga (nach Engel in dt. Lobatschewski, 1899, S. 352, nahm er sich das Leben). Sein jüngerer Bruder Aleksei Iwanowitsch (1795 — 1870) studierte ebenfalls und wurde sogar Adjunkt (1817). Nach den Biographen [B1, S. 87] habe er aber keine besonderen Neigungen zur Wissenschaft entwickelt;  so habe er  nicht den Professorentitel erhalten und sei im Jahre 1823 im Range eines Hofrates entlassen worden. Er habe später in der Industrie gearbeitet als Direktor einer Tuchfabrik. Die Beziehung zur Mutter Praskowja Aleksandrowna Lobatschewskaja (1773—1840) ist den Biographen zufolge zeit lebens gut gewesen, sie berichten nämlich (B1, S. 87): "Noch in der Zeit, als N. I. Lobatschewski bereits Rektor der Universität Kasan war, stand sie ihm mit Ratschlägen zur Seite, die sich auf ihre große Lebenserfahrungen gründeten.".

Jugend und heranwachsenden Zeit

Nach Beendigung des Gymnasiums 1806 bestand Lobatschewski die Aufnahmeprüfung an der Universität, aber ihm wurde zunächst geraten, die Sprachen mehr zu studieren. Das hatte damals besonders seine guten Gründe, denn, so die Biographen in einer erläuternden Fußnote [B1, S. 19] , "zu Beginn des 19. Jahrhunderts arbeiteten an den russischen Universitäten hauptsächlich ausländische Professoren, die ihre Vorlesungen in Deutsch oder Latein, manchmal auch in Französisch hielten. Die wissenschaftliche Literatur begann man damals erst in die russische Sprache zu übersetzen. Deshalb mußten die Studenten mehrere Fremdsprachen beherrschen."
 

Exkurs: Die Universität Kasan zur Zeit Lobatschewskis Die Biographen Halameisär, Alexander & Seibt, Helmut (1978) führen aus: "Im Jahre 1803 wurde Stepan Jakowlewitsch Rumowski, der damalige Vizepräsident der Russischen Akademie der Wissenschaften [1] in Petersburg, ein Schüler von Euler und Lomonossow und inzwischen ein bekannter Mathematiker und Astronom, zum Kurator des Kasaner Schulbezirkes ernannt. Der Kasaner Schulbezirk umfaßte damals die Gouvernemente Kasan, Nishni-Nowgorod (heute: Gorki), Simbirsk (heute: Uljanowsk), Pensa, Saratow, Wjalka (heute: Kirow), Perm und Orenburg. Zur damaligen Zeit gab es in Rußland nur drei Universitäten: die im Jahre 1755 auf Initiative von Lomonossoweröffnete Mos-[<18] kauer Universität und die soeben erst gegründeten Universitäten in Dorpat und Wilno. Im Jahre 1804 erhielt Rumowski den Hohen Befehl in Kasan eine neue Universität zu eröffnen.   Im Februar 1805 kam Rumowski nach Kasan und verkündete dort feierlich den Ukas des Zaren und die Verordnung des Unterrichtsministeriums über die Eröffnung der Kasaner Universität  '... für den Unterricht und für die Verbreitung der Wissenschaften - besonders der experimentellen und der exakten, die sich, auf zuverlässige Grundlagen stützen ... und für die Vorbereitung der Jugend auf den Eintritt in den Staatsdienst.' An der neu gegründeten Kasaner Universität waren anfangs lediglich zwei neu ernannte Professoren und vier Adjunkte tätig, die zuvor Lehrer am Kasaner Gymnasium gewesen waren. Die Universität stellte deshalb auch in den ersten Jahren ihres Bestehens nur eine Art "Erweiterung" des Gymnasiums dar, in der die Ausbildung der Abiturienten fortgesetzt wurde. Die sechs Lehrkräfte hatten zu dieser Zeit lediglich 33 Studenten zwischen 13 und 20 Jahren." Engel (1899, S. 357) berichtet, daß zu dieser Zeit drei akademische Grade von der Universität verliehen werden konnten: Kandidat, Magister und Doktor. Bis 1819 habe es hierfür aber keinerlei Vorschriften gegeben und der Senat wie auch der Kurator (oberster Bildungsbeauftragter der Region) hätten völlig freie Hand gehabt.

Lobatschewski 1807 im Alter von 14 Jahren immatrikuliert

Nach einer zweiten erfolgreich bestandenen Aufnahmeprüfung wurde der 14jährige Lobatschewski im Februar 1807 offiziell als Student der gerade ein Jahr jungen Kasaner Universität immatrikuliert.
 

Kortaschewski von Jakowkin vertrieben - Kasans Uni ohne Mathematik

Die Biographen berichten, daß Kortaschewski, der an der Universität als Adjunkt und als der einzige Mathematiklehrer gearbeitet habe. Sein unabhängiger Charakter und die ständigen Auseinandersetzungen mit dem eigensinnigen und herrschsüchtigen Direktor Jakowkin sollen Kortaschewski bewogen haben, seine Stellung in Kasan aufzugeben und nach Petersburg zu gehen, wo er später Senator wurde.

    "Unter dem Einfluß des in Kasan ansässigen Arztes Karl Fuchs begann sich Lobatschewski für die Naturwissenschaften zu interessieren, unter anderem auch für die Chemie. Früher hatte er bereits gelegentlich mit dem Mikroskop gearbeitet. Jetzt, in der Zeit seines Studiums, in der er keinen Mathematiklehrer hatte" - Kortaschewski war vertrieben - , "widmete sich Lobatschewski der Chemie und der Pharmakologie. Der Unterricht in diesen Fächern wurde von Adjunkt  Ewest durchgeführt. Viele Studenten studierten Chemie; in Pharmakologie war Lobatschewski aber der einzige Schüler seines Lehrers. Ewest ließ Lobatschewski selbständig im Labor arbeiten und war mit ihm insgesamt sehr zufrieden, da sein Schüler - wie üblich - ernsthaft und akkurat arbeitete und auch Ergebnisse erzielte. Jakowkin hörte von Ewest das Lob über Lobatschewski und überlegte: Die mathematischen Vorlesungen besucht er nicht, dafür beschäftigt er sich mit Chemie und Pharmakologie, d. h. er müßte also Arzt werden. Das schrieb er auch an den Kurator Rumowski nach Petersburg: 'Der Student Nikolai Lobatschewski bereitet sich offensichtlich auf ein Studium an der Medizinischen Fakultät vor.' Darin irrte er sich jedoch. Lobatschewski besuchte niemals die Medizin-Vorlesungen von Professor Braun. ..." (B1, S. 20)
 

Johann Christian Martin Bartels durch Gauß nach Kasan empfohlen
Ein mathematisch-naturwissenschaftliches Zentrum entsteht

Die Historiker und Biographen berichten: "Im Jahre 1801 hatte Rumowski  vergeblich versucht, den deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß an die Russische Akademie der Wissenschaften nach Petersburg zu berufen. Gauß konnte sich von seiner bisherigen Tätigkeit in Braunschweig nicht trennen und empfahl an seiner Stelle seinen Lehrer und Freund Johann Christian Martin Bartels. Von Rumowski wurde daraufhin Bartels im Jahre 1805 der Lehrstuhl für reine Mathematik an der Universität Kasan angeboten, Bartels kam erst Anfang 1808 nach Kasan. Er war ein talentierter Pädagoge und ein für seine Zeit hoch gebildeter Mathematiker. Für die Vorlesungen bei Bartels wollte sich auch Lobatschewski einschreiben lassen. Das wurde ihm jedoch von Jakowkin verwehrt. Daraufhin setzte Lobatschewski seine Chemiestudien noch eine Zeit lang fort. Er fühlte sich jedoch mehr zur Mathematik hingezogen. Es kam zu einem Gespräch mit Bartels, in dem Lobatschewski diesem seine Absichten zur Fortsetzung seiner mathematischen Studien erläuterte. Bartels war damit einverstanden, zumal er bereits in Petersburg von Kortaschewski von diesem talentierten Studenten gehört hatte. Nach dem Gespräch mit Bartels zog sich Lobatschewski eine Erkältung zu und war längere Zeit krank. Inzwischen traf in der Universität ein Brief von Rumowski ein. Rumowski kümmerte sich sehr um die Ausbildung von russischen Wissenschaftlern auf den verschiedensten Gebieten der exakten Wissenschaften. Da er von der Ankunft Bartels in Kasan wußte, schrieb er: 'Ich. wünschte, daß es unter den Studenten und Kandidaten mehr solche geben würde, die sich für die mathematischen, physikalischen und philosophischen Wissenschaften entscheiden würden.' Nachdem Jakowkin dieses Schreiben erhalten halle, entwickelte er eine ungewöhnliche Fürsorge und besuchte sogar den kranken Lobatschewski. Er wünschte ihm baldige Genesung, hob das von ihm selbst ausgesprochene Verbot wieder auf und empfahl Lobatschewski, daß er unbedingt alle Vorlesungen bei Professor Bartels besuchen solle. Um Bartels, den Astronomen Littrow und den Physiker Bronner, die später nach Kasan kamen, bildete sich recht bald eine Gruppe talentierter und wißbegieriger Kasaner Studenten. Zusammen mit seinem Freund Iwan Simonow begann Lobatschewski das Studium der Mathematik, Physik und Astronomie.
Bartels schrieb später über seine ersten Eindrücke nach seiner Ankunft in Kasan: 'Mein Wirkungskreis ist hier angenehmer, als ich erwarten durfte. Die meisten meiner Zuhörer sind in der Mathematik sehr gut vorbereitet.' (Brief an Gauß vom 6. Juli 1808)." (B1, S. 20f)

Bereits mit 16 Jahren gilt er als der talentierteste Student der jungen Kasaner Universität. Jakowkin schrieb [B1, S. 22]: "Lobatschewski führt sich oft sehr gut, wenn man von gelegentlichen Fehltritten absieht." Er fiel auf als er am für Studenten verbotenen Neujahrsumzug teilnahm und im Hof der Uni eine Rakete zündete. Im Stadtpark wurde er vom Rektor auf einer Kuh reitend gesichtet. Die Klagen häuften sich, so daß der Kurator Rumowski an den Rektor schrieb [B1, S. 22]: "Dem Studenten Lobatschewski, der im schlechten Benehmen den ersten Platz einnimmt, ist mein Bedauern darüber mitzuteilen, daß er seine ausgezeichneten Fähigkeiten durch unangemessenes Betragen trübt."
    Die Biographen berichten, daß sich Lobatschewski als Student in Jakowkins Tochter Anna verliebt haben soll und daß sie sich öfter getroffen hätten und er im Hause Jakowkins verkehrt wäre. Der arme Student sei mit Mißfallen geduldet worden, weil Jakowkin seine Tochter für den reichen Baron  E. W. Wrangel vorgesehen habe. Lobatschewski habe die enge, gottesfürchtige Atmosphäre im Hause von Jakowkin mit der Zeit immer weniger gefallen und es habe darüber auch gelegentlich Auseinandersetzungen zwischen Jakowkin und Lobatschewski gegeben. "Die 'gegen Gott gerichteten Gedanken' Lobatschewskis rüttelten in den Augen von Jakowkin an den Grundfesten seiner Weltanschauung, an seiner Ergebenheit gegenüber Gott und der zaristischen Bürokratie." So soll Jakowkin Rumowski gemeldet haben, daß Lobatschewski „in bedeutendem Maße Anzeichen von Gottlosigkeit" zeige. "Das", so die Biographen,  "stellte im damaligen zaristischen Rußland eine schreckliche Beschuldigung dar." Jakowkin schickte seine Tochter Anna dann nach Petersburg, wo sie später einen Fürsten, der ebenfalls Student der Kasaner Universität gewesen war, geheiratet habe. Die Biographen vermuten, daß Lobatschewski vom Abbruch dieser Verbindung tief betroffen gewesen sei.
Die Biographen berichten weiter (B1, S. 23) : "Wegen seines schlechten Verhaltens und wegen der 'Bekundung von Anzeichen der Gottlosigkeit' erhielt Lobatschewski nach Beendigung der Universität nicht einmal den Titel eines Kandidaten. An den russischen Universitäten war es zu dieser Zeit üblich, daß die besten Studenten den Magistertitel erhielten und an der Universität blieben, um unter der Leitung eines Professors ihre wissenschaftliche Ausbildung weiter zu vervollkommnen. Die übrigen Studenten beendeten die Universität mit dem Kandidatentitel [<23] Lobatschewski mußte mit seinem Ehrenwort Besserung versprechen und erhielt dann, nach einem Monat, am 3. August 1811 den Magistertitel. Lobatschewski wurde auch mit einem besonderen Dankschreiben des Bildungsministers ausgezeichnet. Für all das hatte sich Bartels besonders eingesetzt."

Akademische Karriere im Lebensverlauf.
nach den biographischen Quellen, hauptsächlich B1
 

1807	Immatrikulation
1811	Magister, Abschluß des Studiums
Frühjahr 1812 Vorlesungen in russischer Sprache 1812	Assistent bei Bartels, Magistertätigkeit, der sich in einer Woche mehrfach mit ihm beschäftigte. Studium der „Disquisitiones arithmeticae" von Gauß und die „Mecanique celeste" (Himmelsmechanik) von Laplace. Bei Littrow, der neben Lobatschewski zwei weitere Studenten betreute, Vertiefung der Kenntnisse in Astronomie „zur einstweiligen Vorbereitung auf die Durchführung von Beobachtungen"  „Theorie der elliptischen Bewegung von Himmelskörpern". Bartels: "Viele Stellen dieses kleinen Werkes zeugen von einer herausragenden mathematischen Begabung, die in der Zukunft nicht unberühmt bleiben wird." [B1, S. 25]
1814	26.4. Verleihung des Adjunkttitels. Ableistung des Eides "... ich verspreche und schwöre dem allmächtigen Gott vor dem heiligen Evangelium ... treu und ehrlich zu dienen, mich in allen stets zu fügen ... alle Geheimnisse fest zu bewahren ... und den mir bestimmten Rang ehrlich auszufüllen ... so wahr mir Gott helfe. Amen." (B1, S. 25)
1816	7.7. Berufung zum außerordentlichen Professor.
1819	16.12. mit der Reorganisation der Universitätsbibliothek beauftragt.
1820	Titel Hofrat. Bartels überträgt ihm die Vorlesung über reine Mathematik. Nachfolger von Bartels, der einen Ruf nach Dorpat annimmt, Dekan der Physikalisch-Mathematischen Fakultät.
1821	Bestätigung als Dekan der Physikalisch-Mathematischen Fakultät.
1822	24.5. Bestätigung als ordentlicher Professor. Mitglied des Baukomitees.
1823	Negatives Gutachten zum vorgelegten Lehrbuch zur Geometrie durch N. Fuß, Sekretär  Eulers, Mitglied und ständiger Sekretär der Petersburger Akademie der Wissenschaften. Das Buch wurde erst 1898 wieder gefunden und 1909 gedruckt.
1824	Verleihung erster Orden (Wladimir-Orden 4. Stufe.)
1825	Titel Kollegienrat. Vorsitzender Baukomitee. Leiter der Universitätsbibliothek. Abschluß Algebralehrbuches.
1826	'Geburtsstunde' der nichteuklidischen Geometrie (offizielle): Vortrag am 12.2. vor dem Rat der Universität: Grundlagen der Geometrie mit einem strengen Beweis des Parallelentheorems.
1827	Ernennung zum Kurator des Kasaner Schulbezirks und am 30.7. Rektor bis 14.8.1846.
1828	Rede "Über die wichtigsten Fragen der Erziehung" (Immatrikulationsfeier), veröffentlicht . 1832 im Kasaner Boten.
1829	Alexander von Humbold in Kasan, Begegnung mit Lobatschewski. "Über die Anfangsgründe der Geometrie" im Kasaner Boten (dt. 1898) in fünf Teilen vom Februar / März 1829 bis Juli/August 1830.
1830	Cholera-Epidemie in Kasan. Hervorragende Einsicht in die erforderlichen und erfolgreichen Maßnahmen Ls., denen der Gouverneur nicht zu folgen vermochte.
1832	Heirat. Fertigstellung der Arbeit "Über die Anfangsgründe der Geometrie" Übergabe an die Akademie der Wissenschaften in Petersburg. Negatives Gutachten des Akademiemitgliedes Ostrogradski. (B1, S. 82)
1833	Titel Staatsrat.
1834	Gründung "Wissenschaftliche Schriften der Kasaner Universität". Lehrbuch "Algebra oder die Berechnung des Finiten" u.a. Beleidigende Kritik in der Zeitschrift "Sohn des Vaterlandes". "Über die Anfangsgründe der Geometrie", Erwiderung Ls. auch nach fünf Monaten nicht abgedruckt [nach Fußnote in  Lobatschewski, N. I. (dt. 1904, S. 4). Die Gutachter der Universität kommen nach bald 8 Jahren zu keiner Beurteilung seiner Arbeit.
1835	Imaginäre Geometrie. [Einleitung hier] Neue Strategie über die Analysis Verständnis und Anerkennung zu finden (S.4).
1837	Adelung (vererblich und mit Wappen). "Vorgestellte Geometrie" fr. (dt. 1904)
1840	Tod der Mutter. dt. "Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien".
1841	Titel "Verdienter Professor"
1842	Wahl zum korrespondierenden Mitglied der Königlich wissenschaftlichen Gesellschaft in Göttingen; Initiative Gaußens, der ihn allerdings nicht in Schutz nahm als sein Werk Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (Berlin 1840) negativ besprochen wurde.
1845	Übernahme der Aufgaben Kurator des Schulbezirks Kasan.
1846	Emeritierung. Intrigen. Stellvertretender Kurator. Krank, schwach.
1852/53	Sein ältester Sohn Aleksei, der studierte, starb an Tuberkulose. Sein letzter, 1852 geborener Sohn, Aleksei, wird geboren (stirbt bereits 1883). Sein zweitältester Sohn muß die Universität verlassen, weil er 1853 zum Militärdienst eingezogen wird.
1855	Pensionierung. Wahl zum Ehrenmitglied der Moskauer Universität. Materielle Probleme. Antrag auf finanzielle Unterstützung zur Behandlung in einer Moskauer Klinik beim im Sep. in Kasan weilenden Unterrichtsminister A. S. Norow, die 12 Tage vor seinem Tod zu spät bewilligt wurde. Französische Ausgabe (Faksimile): Pangeometrie.
1856	12.2. Tod (Lungenparalyse). Gedenkrede am Grab. Pangeometrie zum 50jährigen Jubiläum der Universität Kasan.

Dokumente aus Lobatschewskis Schriften

Negatives Gutachten zum Lehrbuch der Geometrie 1823 (1898 wieder gefunden und 1909 veröffentlicht).

Die Biographen Halameisär, Alexander & Seibt, Helmut (1978, S. 28) berichten: "In dem 1823 vorgelegtem Geometrielehrbuch schreibt Lobatschewski u. a. folgendes:
 

'Die Messung ebener Flächenräume gründet sich darauf, daß zwei Linien zusammentreffen, wenn sie auf  einer dritten nach derselben Seite hin stehen und wenn die eine eine Senkrechte ist, die andere aber unter einem spitzen Winkel geneigt ist, der sich der Senkrechten zuwendet. Die Linien AB und CD müssen bei genügender Verlängerung zusammentreffen, wenn die eine von ihnen AB auf BC senkrecht steht und die andere CD gegen BC unter einem spitzen Winkel C geneigt ist, der sich der Senkrechten AB zuwendet. Einen strengen Beweis für diese Wahrheit hat man bis jetzt nicht finden können. Die Beweise, die man gegeben hat, kann man nur als Erläuterungen bezeichnen, aber sie verdienen nicht im vollen Sinne als mathematische Beweise geschätzt zu werden.'

Bei dem Versuch, über Euklid hinauszugehen, baut Lobatschewski im ersten Teil seiner Arbeit eine „absolute Geometrie'' auf, die vom Parallelenpostulat unabhängig ist. Er war inzwischen davon überzeugt, daß eine Geometrie, in der alle Axiome von Euklid mit Ausnahme des Parallelenaxioms erfüllt sind, in sich widerspruchsfrei sein könnte. Dabei spielte Lobatschewskis kritische Einstellung eine Rolle, die er zu der Auffassung vom Angeborensein unserer geometrischen Kenntnisse hatte, aus der die Einzigkeit des bisherigen geometrischen Systems folgen würde. Das Geometriebuch Lobatschewskis wurde vom Kurator der Kasaner Universität der Petersburger Akademie der Wissenschaften zur [<28] Begutachtung als Lehrbuch, das für Gymnasien geschrieben war, zugeschickt. Für den Anfangsunterricht war dieses Werk tatsächlich nicht geeignet. Das Gutachten der Akademie verfaßte N. Fuß, ein Schüler und Mitarbeiter von Euler und damaliger ständiger Sekretär der Akademie. Fuß erkannte nicht den sich andeutenden revolutionierenden Gehalt dieser Arbeit. Sein Gutachten vorn 3. August 1823 war äußerst negativ. Er schrieb unter anderem:
 

'Wenn der Verfasser glaubt, seine Schrift könne als Lehrbuch dienen, so zeigt er dadurch, daß er von den Ansprüchen, die man an ein Lehrbuch stellen muß, keinen rechten Begriff hat, d. h. keinen Begriff von der Fülle der geometrischen Wahrheiten, die den Inbegriff eines Elementarkurses der Wissenschaft bilden, von der mathematischen Methode, von der Notwendigkeit scharfer und deutlicher Erklärungen aller Begriffe, von der logischen Ordnung und der methodischen Einteilung des Stoffs, von der gehörigen Aufeinanderfolge der geometrischen Wahrheiten, von der unerläßlichen Strenge und möglichst rein geometrischen Fassung der Beweise. Von allen diesen notwendigen Eigenschaften ist in der Geometrie, die ich durchgesehen habe, auch nicht eine Spur.'

Besonders empört zeigte sich Fuß über die Einführung des Meters als Einheit der Längenmessung und die Teilung des Kreises in 400 und nicht in 360 Grad. Er analysierte nicht das Wesen des von Lobatschewski vorgenommenen Aufbaus der Geometrie auf der Grundlage einer Axiomatik. Fuß schrieb sarkastisch:
 

'. . . und es ist verwunderlich, daß der Verfasser das französische Meter als Maßeinheit für die geraden Linien und den hundertsten Teil eines Viertelkreises, den er als Grad bezeichnet, als Maßeinheit für Kreisbogen benutzt. Diese Einteilung ist in der Zeit der französischen Revolution erdacht worden, als die Raserei einer Nation alles bisherige vernichtete und sich sogar auf den Kalender und auf die Teilung des Kreises erstreckte; diese Neuheit wurde aber wegen ihrer Unbequemlichkeit nirgendwo verwendet.'

Diese Rezension erwies sich in zweierlei Hinsicht als falsch: die Genialität der Lobatschewskischen Idee entging nicht nur dem damals 78jährigen Fuß, der als "alter Weiser" galt, sondern auch vielen, talentierten Köpfen der damaligen Zeit; das Meter hatte sich damals überall schnell eingebürgert. Das Gradmaß für die Winkel blieb jedoch auch in der Folgezeit unverändert.
Die Rezension von Fuß hatte natürlich zur Folge, daß das Geo-[<29] metriebuch von Lobatschewski nicht gedruckt wurde. Das Manuskript galt lange Zeit als verschollen, bis es im Jahre 1898 bei einer Durchsicht des Archivs des Kurators der Universität wieder aufgefunden wurde. Die erste Auflage dieses Buches erschien im Jahre 1909 in Kasan, d. h. 86 Jahre nach Fertigstellung des Manuskripts durch Lobatschewski."
 

Fußnote über eine beleidigende Kritik 1834

 Quelle: Lobatschewski, N. I. (dt. 1904, russ. 1835). Imaginäre Geometrie  Fußnote S. 4. Leipzig: Teubner.

Einleitung Imaginäre Geometrie 1835.
Übersetzt von Heinrich Liebmann

Inhalt Imaginäre Geometrie und Anwendung der imaginären Geometrie auf einige Integrale

Inhaltsverzeichnis Pangeometrie (1856)
Übersetzt von Heinrich Liebmann

Anmerkung: Inhaltsverzeichnis, Zwischenüberschriften, Querverweise und erläuternde Figuren fehlen im
russischen Original und wurden von Liebmann der deutschen Übersetzung beigegeben.

Pangeometrie: Die ungenügende Begründung der gewöhnlichen Parallelentheorie
Übersetzt von Heinrich Liebmann

Lobatschewski als Lehrer und Pädagoge

Lobatschewski war Mathematiker, Naturwissenschaftler und Materialist und alles andere als ein bigotter Frömmling, wie schon frühzeitig durch seine Auseinandersetzung mit Jakowkin, dem Vater seiner ersten Liebe (Anna) zum Ausdruck kam.

Ausgangsbasis: 1919-1926 Restauration und geistige Inquisition in der Ära Magnizki
Die Biographen (B1, S. 40f, fette Hervorhebung von RS) schildern eindrucksvoll: "Infolge der ungünstigen Zustände im gesamten russischen Bildungssystem der damaligen Zeit, die auch zur Folge hatten, daß manche der ausländischen Professoren die Universität bald wieder verließen, verschlechterten sich nach einigen Jahren die Arbeitsbedingungen an der Universität sehr stark.
    Im Jahre 1819 beauftragte der damalige Minister für kirchliche Angelegenheiten und Bildung, Fürst Golizyn, den äußerst reaktionären M. L. Magnizki mit einer Revision der Tätigkeit des Kasaner Universität. In der Universitätsbibliothek fand dieser Revisor Werke von Diderot, Voltaire, Rousseau und anderen Vertretern der Aufklärung, aber keine Bibel. Darüber war er schrecklich erzürnt. Er hielt das ständige Erinnern an die Weisheit, Allwissenheit und Allmächtigkeit Gottes für die wichtigste Aufgabe im Unterricht. Magnizki meinte, daß die Universität strenggläubige Beamte und keine Philosophen und Freidenker ausbilden muß. Er schlug sogar vor, die Universität zu schließen, weil in ihr ein unzu-[<40]lässiger 'Voltaireismus' gedeihe und weil sie eine Brutstätte von revolutionären Gedanken und von Gottlosigkeit sei. Dieser Vorschlag war aber selbst dem ebenfalls reaktionär eingestellten Minister zu viel.
    Vor seiner Abreise nach Petersburg erteilte Magnizki in Kasan ausführliche Instruktionen. So ordnete er an, daß über dem Haupteingang der Universität ein Kreuz mit der Inschrift „In Deinem Lichte erblicken wir die Wahrheit" anzubringen sei. Außerdem sollte auch eine Medaille mit diesem Text geprägt werden. Lobatschewski erhielt auch schriftliche Instruktionen. Als Physiklehrer wurde er verpflichtet, 'auf die Allwissenheit Gottes und auf die Beschränktheit unserer Sinne und Geräte für das Erkennen der uns umgebenden Wunder hinzuweisen'. In der Astronomieausbildung sollte er 'mit flammenden Worten auf die Unveränderlichkeit der Weisheit des Schöpfers und der Gesetze für die Himmelskörper hinweisen'.
    Es ist jedoch schwierig, mathematische und physikalische Formeln mit Gott in Einklang zu bringen. Lobatschewski hielt es auch nicht für erforderlich, diesen Instruktionen nachzukommen.
Bedeutend schlechter hatten es dagegen die Lehrkräfte für Medizin: Magnizki verbot die Untersuchungen des menschlichen Körpers und ordnete an, daß die Skelette, die bei den Anatomievorlesungen benutzt worden waren, feierlich zu beerdigen seien, mit einer Totenmesse und unter Teilnahme von Geistlichen. Ferner wurde die Benutzung von menschlichen Knochen und Skeletten zu Lehrzwecken verboten.
    Im selben Jahr 1819 wurde Magnizki zum Kurator des Kasaner Schulbezirks ernannt. Damit war er faktisch unumschränkter Herrscher in der Universität. Durch einen Erlaß des Ministers Golizyn, der vom Zar gebilligt worden war, wurde an der Kasaner Universität der 'Unterricht in göttlicher Erkenntnis und Christenlehre' eingeführt. Neun fortschrittliche Professoren wurden von der Universität vertrieben.
    Einige der verbleibenden Lehrkräfte standen fest auf den Positionen der göttlichen Erschaffung der Welt und sprachen darüber auch in ihren Vorlesungen. So steht zum Beispiel in einem Vorlesungsmanuskript aus der damaligen Zeit:
. . . Aus der heiligen Schrift geht hervor, daß das Sonnenlicht ein schwacher Abglanz des Angesichts Gottes ist. Wie es sich ausbreitet, [<41] ob durch Wellen oder auf andere Art, darüber sagt die heilige Schrift nichts aus. In Übereinstimmung mit der heiligen Schrift stellen wir uns das Licht als ein Organ vor, durch das der Herr, der unerreichbar ist, seinen Geist auf die Erde schickt.

    Der Mathematikprofessor Nikolski lehrte seinen Studenten:
'So wie die Zahlen nicht ohne Einsen existieren können, so kann die Welt auch nicht ohne Schöpfer existieren.'

Über dem Katheder des Professors für russische Literatur Gorodtschaninow hing die Inschrift "Die Literatur ist ein Organ des Verstandes; der Verstand ist die Literatur der Seele: die Seele, vernünftig und unsterblich, ist ein kostbarer Funken der Gottheit."
    Ein Verbot folgte nach dem anderen. Magnizki annullierte den Unterricht in neuester Geschichte. Die praktischen Übungen in russischer Literatur sollten an Hand der Bibel und der Psalmen durchgeführt werden. Das Studium der Mythologie wurde verboten, da die Mythologie ein Fach sei, 'das dem Christentum widerspricht'. Die Beschäftigung mit der Geologie wurde ebenfalls verboten, da die Geologie eine Wissenschaft sei, 'die der heiligen Schrift widerspricht'. Das Beziehen ausländischer Zeitschriften war ebenfalls verboten ...
    Magnizki erreichte durch die sieben Jahre seiner 'Leitung' des Schulbezirks den Niedergang der Kasaner Universität. Er wurde erst im Jahre 1826 als Kurator des Kasaner Schulbezirks abgelöst."
    Von Mathematik verstand Magnizki glücklicherweise wohl nichts, sonst hätte er sie gleich ganz verboten.

Aus der Rede vom 17. Juli 1828 "Über die wichtigsten Fragen der Erziehung".

Die Biographen (B1, S. 43 ) berichten und zitieren:  "'In die Erziehung, in diese wichtige Sache, beziehen meine Gedanken erste Grundlagen der Sittlichkeit mit ein; sie können dabei auf Regeln verweisen, die der Lehrer unbedingt befolgen sollte. Die Erziehung nimmt in der Wiege ihren Anfang: zuerst wird sie durch die bloße Nachahmung erworben, allmählich entwickeln sich Verstand, Gedächtnis, Vorstellungskraft, Geschmack für das Schöne, es erwacht die Liebe zu sich selbst und zum Nächsten, das Ehrgefühl, der Wunsch, das Leben zu genießen ... und der Mensch, als wäre er von neuem geboren, wird immer vollkommener ...
Die Weisheit wird dem Menschen nicht mit in die Wiege gelegt, sie wird durch Lernen erworben.'
    Lobatschewski wandte sich scharf gegen scholastische und spekulative Überlegungen und erhob die Praxis und die Natur zum Kriterium der Wahrheit.
Er führte in seiner Rede weiter aus:
'Bemüht Euch nicht vergebens, aus einer Einsieht die ganze Wahrheit zu folgern. Befragt die Natur, sie enthält alle Wahrheiten. Auf  Eure Fragen wird sie Euch unbedingt und befriedigend Antwort geben ... Die Jugend, die an dieser Einrichtung immatrikuliert wird, wird nicht leere Worte hören, ohne jeglichen Sinn. Hier wird das gelehrt, was wirklich existiert, und nicht das, was von einem untätigen Verstand erfunden worden ist. Hier sind die Fächer unter den Lehrkräften so verteilt, daß jeder das lehrt, womit er sich sein ganzes Leben, lang beschäftigt. Wer seine Kinder zum Nutzen des Staates bilden will, der muß sie in den staatlichen Lehranstalten bilden lassen.'
    Lobatschewski war der Ansicht, daß Müßiggang den menschlichen Verstand verdirbt. Eine wichtige Aufgabe der Pädagogen sah er im Herausfinden und im Erziehen von Genies. Er sagte dazu:
'Darin besteht die Kunst der Erzieher: ein Genie zu entdecken und es mit Erkenntnissen auszustatten.'
Damals lernte man in den Schulen und auch an den Universitäten nur solche Dinge, die bereits untersucht und bekannt waren, die sich herauskristallisiert und gefestigt hatten.
Erst kürzlich entdeckte Fakten bzw. neue Entwicklungstendenzen hielt man dagegen nicht für geeignet, daß sie zum Gegenstand des allgemeinen Unterrichts gemacht wurden. [<43]
Aber die Wissenschaft kann nicht auf der Stelle treten. Es ist unmöglich, über Jahrzehnte hinweg immer wieder dieselben Tatsachen zu wiederholen, als ob sie stets unwidersprochen und ewig seien. Mit der Entwicklung und der Erneuerung der Wissenschaft muß auch die Bildung weiterentwickelt und erneuert werden, und zwar sowohl inhaltlich als auch methodisch.' sagte Lobatschewski."

Einsicht in die enorme Bedeutung der Lehrer-Fort- und Weiterbildung
Lobatschewski wirkte ganz im Sinne seiner Rede und tat sehr viel für die Lehrer- Fort- und Weiterbildung, die gar nicht hoch genug eingeschätzt werden kann. Dazu trug auch sehr bei, daß er seine Vorlesungen und Unterweisungen in russischer Sprache hielt.

Vorlesungs- und Unterweisungskonzeption
Die Biographen (B1, S. 51) berichten: "Lobatschewski war ein vorzüglicher Lehrer, ein guter Methodiker. Er hielt fast jeden Vormittag zwei zweistündige Vorlesungen. Professor A. F. Popow, sein Schüler und sein späterer Nachfolger als Leiter des Mathematik-Lehrstuhls, erinnert sich:
    'Im Hörsaal bemühte er sich um große Klarheit in seinen Darlegungen dadurch, daß er Aufgaben zunächst mit der synthetischen Methode löste und erst danach allgemeine Sätze mit der analytischen Methode bewies. Er kümmerte sich wenig um den Mechanismus des Rechnens, sondern weitaus mehr um Klarheit in den Begriffen. Er liebte es besonders, nach eigenen Gedanken zu unterrichten, anstatt Lehrbüchern zu folgen. Seine Hörer sollten sich selbständig mit der Literatur beschäftigen.'
Professor Laptew schreibt zu diesem Thema in seiner Biographie:
    'Eine mechanische Aneignung des Stoffs durch die Studenten wurde von Lobatschewski nicht gebilligt, er forderte eine hohe Genauigkeit im Ausdruck und legte auf die Fähigkeit zum selbständigen Überlegen besonderen Wert. Sein methodologisches Herangehen und seine pädagogischen Auffassungen fanden keine offizielle Billigung und blieben den Lehrkräften für Mathematik und Naturwissenschaften an den anderen Universitäten unbekannt. An der Kasaner Universität wirkten sie sich aber nicht nur auf den Verlauf des Unterrichts der anderen Kollegen im Verlaufe der langjährigen eigenen pädagogischen Arbeit Lobatschewskis praktisch aus, sondern auch noch später.'
Es sei dazu noch angemerkt, daß an der Kasaner Universität viele jüngere Lehrkräfte ihre Vorlesungen nach Konspekten Lobatschewskis hielten.'"

Sokratische Methodik in der Pädagogik und Konfliktlösung
Die Biographen (B1, S. 44) berichten: "Lobatschewski unterhielt sich gern mit begabten Studenten. Er interessierte sich für deren Neigungen, stellte Fragen und gab Ratschläge - auch dann, wenn die Studenten die Disziplin und die in der Universität geltenden Regeln verletzt hatten. Er erinnerte sich gut an seine eigene Studentenzeit, als er durch die Lebhaftigkeit seines Charakters und durch die überschäumende Energie die Verwaltung der Universität außer sich brachte (vgl. unter 2.2.). Wenn ein Student, der sich etwas hatte zuschulden kommen lassen, zu Lobatschewski 'zu einem Gespräch' kommen mußte, gelang es dem Rektor gewöhnlich, diesen Studenten 'selbständig' zu der Einsicht von der Unwürdigkeit ähnlicher Handlungen zu bringen, ihn sein Verhalten 'selbst' verurteilen zu lassen und ihn zu dem Versprechen zu bewegen, sich von nun an vernünftiger zu führen. So wird zum Beispiel berichtet, daß der überaus begabte Student Chlebnikow, der aber gleichzeitig ein großer Bacchus-Jünger war und der sich manchmal bis zur Bewußtlosigkeit betrank, nach einer [<44] längeren Unterhaltung mit Lobatschewski diesem sein Ehrenwort gab, in Zukunft nicht mehr zu trinken,  was er in der Folgezeit auch hielt."
    Nach den Biographen (B1, S. 45) soll Lobatschewski faule und gewissenlose Studenten nicht geliebt haben. Er soll der Auffassung gewesen sein, "daß man schwache und schlechte Studenten an den ersten Worten erkennen könne und daß es unnütz sei, sie mit vergeblichen Fragen zu quälen."
Sokratische Methoden sollen Lobatschewski auch beim Schlichten von Streiten im Rat der Universität geholfen haben: "Als er feststellte, daß es nicht gelingen würde, für eine in einer offiziellen Ratssitzung erörterte Frage Stimmenmehrheit zu erhalten, kündigte er eine Pause an und schlug vor, für diese Zeit in seine Universitätswohnung zu gehen. Dort wurden dann bei einem Becher guten Punsches des gastfreundlichen Rektors alle Zweifel glücklich beseitigt.
Nur in seltenen Ausnahmefällen nahm Lobatschewski zu Druckmitteln Zuflucht, indem er zum Beispiel erklärte, daß das der Wunsch des Kurators sei - und der Streit hörte sofort auf."

Die Biographen [B1, S. 46f] teilen unter dem Titel "Familienangelegenheiten" mit: "Im Oktober 1832 heiratete N. I. Lobatschewski die 19jährige Warwara Aleksejewna Moissejewa, die Tochter eines reichen Gutsbesitzers. Als Mitgift erhielt die junge Frau einige Dörfer mit zahlreichen leibeigenen Bauern und in Kasan selbst ein dreigeschossiges steinernes Haus. Obwohl das Eigentum der Eheleute nach dem Heiratsvertrag als getrennt betrachtet wurde, läßt sich feststellen, daß sich für Lobatschewski die materiellen Lebensbedingungen wesentlich verbessert hatten. Sein ehemaliger Lehrer, Professor Littrow, der inzwischen Direktor des Wiener Observatoriums geworden war. schrieb damals an seinen Kollegen I. M. Simonow, der nun an der Kasaner Universität die Professur für Astronomie innehatte und der als guter Freund Lobatschewskis galt: 'Tausend Grüße an Herrn Professor Lobatschewski. Ich gratuliere ihm aus vollem Herzen zu seiner Heirat. Aber das kommt etwas spät: Ihm wird es schwerfallen, Sie auf diesem Wege einzuholen, wo Sie bereits drei Kinder haben.' Littrow dürfte mit seiner Sorge nur schwerlich recht behalten haben: Lobatschewski hatte insgesamt 15 Kinder, manche Quellen sprechen von 18. M. N. Mussin-Puschkin, der Kurator der Kasaner Universität, war ein Vetter der Frau von Lobatschewski. Durch seine Hochzeit war also der Rektor der Universität ein Verwandter des Kurators des Kasaner Schulbezirks geworden. Dadurch wurden die freundschaftlichen Bande zwischen Lobatschewski und Mussin-Puschkin noch weiter verlieft; die dienstlichen Beziehungen vereinfachten sich." Seine Frau Warwara Aleksejewna (1812 — 1885) überlebte ihn um bald 30 Jahre.
 

Im Juli 1846 war Lobatschewski 53 Jahre alt und schon 30 Jahre Professor, eine Zeitdauer, nach der man in Rußland zur damaligen Zeit gewöhnlich emeritiert wurde. Bei ihm wie bei dem Physiker Simonow, mit dem er sein Studium an der Uni Kasan begonnen hatte, machte man eine Ausnahme und er durfte weitere 5 Jahre seinen Lehrstuhl behalten. Nachdem im Frühjahr 1845 der Kurator des Kasaner Schulbezirks Mussin-Puschkin nach Petersburg berufen wurde und Lobatschewski dieses Amt übernommen hatte wurde ihm die vielen Verpflichtungen zu viel und er schlug Popow, Doktor der Mathematik und Lehrer am Kasaner Gymnasium, für seinen Lehrstuhl zur reinen Mathematik vor, fest damit rechnend, daß er weiterhin Rektor und zum Kurator ernannt werden würde. Aufgrund von Intrigen durch Mißgünstlinge kam es dann ganz anders: Die Abgabe des Lehrstuhl wurde 'genehmigt', zugleich entband man ihm vom Rektorposten und ernannte ihn lediglich zum stellvertretenden Kurator. Die Biographen kommentieren (B1, S. 57):
    "Bei Lobatschewski rief die Entfernung aus der aktiven Lehr- und Verwaltungsarbeit einen starken Kräfteverfall hervor. Mit 55 Jahren fühlte er sich schwach und krank.
Schließlich verlor er auch noch seine nominelle Stellung als Stellvertreter von Molostwow. Das bedeutete gleichzeitig, daß er von nun an kein Gehalt mehr erhielt, sondern nur noch seine Pension. Es entstanden materielle Schwierigkeiten.
    Lobatschewski erblindete allmählich. Das war wohl auch ein Ausdruck für seine übermäßige nächtliche wissenschaftliche Arbeit in seiner Jugend. In den letzten Lebensjahren konnte er sich nicht mehr allein bewegen.
    Trotzdem glaubte er auch in diesen Jahren fest an eine große Zukunft seiner Entdeckung. Er verlor nie den Drang zur wissenschaftlichen Arbeit. In diesem Zustand — schwach, krank und fast erblindet — diktierte er seinen Schülern seine letzte wissenschaftliche Arbeit, die berühmte „Pangeometrie", die 1855 in den „Wissenschaftlichen Schriften der Kasaner Universität" erschienen und die ein Jahr später, im Sterbejahr Lobatschewskis, in französischer Sprache in der Festschrift zur 50-Jahrfeier der Universität Kasan noch einmal gedruckt wurde.
    Bis zuletzt verlor Lobatschewski nicht die Hoffnung, doch wieder gesund zu werden. Er hatte aus der Rektoratswohnung ausziehen müssen. Im Jahre 1852 verlor er seinen ältesten Sohn Aleksei, der Student war und an Tuberkulose starb. Sein zweiter Sohn Nikolai mußte ein Jahr später die Universität verlassen und seinen Militärdienst ableisten. Seine Gesundheit verschlechterte sich immer mehr. Trotzdem nahm er noch am wissenschaftlichen Leben der Universität teil. So beteiligte er sich zum Beispiel, wie Laptew berichtet, noch an Prüfungen und an Promotionen. [<57]
    Lobatschewski hatte den Plan, sich in einer Moskauer Klinik behandeln zu lassen. Dazu brauchte er aber Geld. Deshalb wandte er sich an den Unterrichtsminister A. S. Norow, der im September 1855 Kasan besuchte, mit der Bitte um eine einmalige finanzielle Unterstützung. Zu Beginn des Jahres 1856, zwölf Tage vor seinem Tode, erhielt er endlich eine Mitteilung über die Bewilligung von 1500 Silberrubeln.
    Diese mögliche Hilfe kam zu spät. Lobatschewski starb am 12. Februar 1856."

Aus der Gedenkrede anläßlich seiner Beerdigung:
Die Biographen [B1, S. 58) schreiben: "Auf seinem letzten Weg zum Arskischen Friedhof in Kasan folgten ihm Hunderte Professoren und Studenten der Universität, Gymnasiasten und ehemalige Schüler. Am Grabe hielt Professor N. N. Bulitsch eine kurze Rede, in der er u. a. ausführte: 'Als Wissenschaftler war Lobatschewski seiner Sache treu ergeben. Er richtete seine Aufmerksamkeit stets auf die führenden wissenschaftlichen Zentren in Europa und bemühte sich, daß das Niveau der wissenschaftlichen Arbeit hier in Kasan sich immer .mehr dem erreichten Entwicklungsstand angleicht. Als Erzieher bildete er einige Generationen von Mathematiklehrern aus, die ihm für ihre Entwicklung dankbar sind. Als Rektor vermehrte er die Mittel der Wissenschaft, und die Universität ist ihm allein zu großem Dank verpflichtet. Große gedankliche Leistungen sind uns teuerer als alle anderen Heldentaten, denn nur die Wissenschaft, die Gedanken und die Kenntnisse sind die wahren Grundlagen für den gesellschaftlichen Wohlstand.'"

Rätsel um Lobatschewskis letzte Jahre und Ende
Bedenkt man, wie vielen Menschen Lobatschewski geholfen - und, denken wir an sein umsichtiges und erfolgreiches Wirken bei der Choleraepidemie, wo er wahrscheinlich viele Leben rettete, wie viele Studenten er ausgebildet und gefördert und was er für den Schulbezirk Kasan und die Universität getan hat, an seinen durch wahrhaften Verdienst erworbenen Adelsstand, an den Reichtum, den die Ehegattin mit eingebracht hat, so kann ich seine doch sehr bitteren und schweren letzten Lebensjahr nicht so recht verstehen und nachvollziehen, was hier geschehen ist. Hier scheint die Biographieforschung noch Aufklärungsbedarf zu haben.

Lobatschewskis Persönlichkeit.

Eine angemessene Persönlichkeitsbeurteilung ist sehr schwierig. Erstens liegen bald 200 Jahre dazwischen. Zweitens geht es um eine Persönlichkeit aus dem zaristischen Rußland in Kasan, Sibirien. Drittens sind wir - wie bei allen posthumen Berühmtheiten - auf zumindest teilweise hagiographisch-euphemistische - Sekundärquellen angewiesen und ich auch noch auf Übersetzungen. Viertens müßte auch das nähere Umfeld, Milieu, das Universitätswesen und der Wissenschaftsbetrieb einbezogen werden. Die folgenden Ausführungen sollten also mit Vorsicht und kritischer Distanz gelesen werden.
    Lobatschweski wird als geistig frühreifer, vielseitig hochbegabter, begeisterungsfähiger und wissbegieriger Junge geschildert, der in seiner Jugend ziemlich über die Stränge schlug und eine kurze wild-rebellische Zeit hatte. Als Beamtensohn erhielten er und seine beiden Brüder das Privileg, ein Gymnasium, sogar mit vollem Pensionat, zu besuchen, also  Finanzierung auf Kosten des zaristischen Staates. Von Jugend an war er aufklärerisch-materialistisch orientiert und geriet einerseits mit dem Bigott-Unterwürfigen (Jakowkin, Magnizki) und andererseits mit den konservativen Mathematikern (Fuß, Ostrogradski) aneinander, so daß seine geistige Unabhängigkeit, persönliche Autonomie, Ausdauer und Konsequenz, Standvermögen und Unbeirrbarkeit im besten Sinne sein ganzes Leben wie ein beständiger roter Faden durchzog. Betrachtet man, was er alles gemacht hat, erscheint er, etwas negativ gesehen, als eine Art 'workoholic', positiv betrachtet als ein außerordentlich fähiger, vitaler (auch fruchtbarer: 15-18 Kinder) fleißiger und tüchtiger Mensch. Daher war die relativ plötzliche Entbindung vom Rektorat, Kurator und von der Professur für ihn ein ziemlicher Verlust und Schlag. In der Psychotherapie erleben wir nicht selten, daß die Zusammenbrüche erfolgen, wenn die Anspannung und Forderung nachläßt, z. B. in Urlaub oder Freizeit. Mit einem Male fühlte er sich krank und schwach; hier könnte sein Abwehrsystem einen ziemlichen Knacks bekommen haben und er verlor in den letzten Lebensjahren zunehmend Funktionstüchtigkeit, erblindete und konnte sich nicht mehr richtig bewegen. Dieses traurige Kapitel seine Lebensendes ist noch nicht genügend aufgeklärt. Hinweise erhalten wir von den Biographen (B1, S. 56, fette Hervorhebung im Sinne einer Persönlichkeitscharakteristik durch RS): "Lobatschewski hatte in Kasan aber auch zahlreiche Neider. Es begannen Intrigen. Nicht jeder liebte offene Meinungen und einen geraden und unabhängigen Charakter, wie ihn Lobatschewski in hohem Maße besaß."
    Lobatschweski bemühte sich sein Leben lang, seine Geometrie verständlich zu machen und durchzusetzen. So zeigen z.B. seine Ausführungen in Lobatschewski   (russ. 1835, dt. 1904, S. 4), wie sehr er nach Wegen gesucht hat, sich den Fachkollegen verständlich zu machen und so ersann er auch eine neue Strategie (1835), die nun darin bestand, "daß die hauptsächlichen Gleichungen, die ich für die Abhängigkeit der Seiten und Winkel eines Dreiecks in der imaginären Geometrie gefunden habe, mit Nutzen in die Analysis aufgenommen werden können, und niemals zu Schlüssen führen, die in irgendeiner Beziehung falsch sind."
    Zu seinen besonders herausragenden Fähigkeiten gehörte auch, mit Niederlagen und sich nicht Durchsetzen können, fertig zu werden, nicht zu verzweifeln, nicht abzudriften und seltsame Entwicklungen einzugehen. Souverän verarbeitet er die vernichtende Kritik durch Nikolaus Fuß ebenso wie  das negative Gutachten von Ostrogradski 1832 oder die beleidigende Kritik in der Zeitschrift "Sohn des Vaterlandes" 1834. Man hatte ihn eingeordnet und sein Lebenswerk "als verzeihliche Wahnidee eines sonst verdienten Mannes" (Quelle) angesehen.
    Trotz aller kühnen und unverstandenen Abstraktionen jenseits des 5. Postulats von Euklid war Lobatschewski kein entrückter, abgehobener Mathematiker im Elfenbeinturm. Er hatte auch einen ausgesprochenen Sinn für das Praktische auf fast allen Lebensgebieten. Eine seiner herausragendsten Leistungen - bei der ihm sicher seine Kenntnisse in Chemie und Pharmakologie sehr halfen - ist zweifellos sein integres und lebensrettendes Verhalten angesichts der Choleraepidemie, mit dem er, statistisch gesehen, über 200 Leben rettete.

"Der einzige Mathematiker von Rang, der die Arbeit Lobatschewskys würdigen konnte, war Gauß. Er beschäftigte sich sogar in seinen späteren Jahren mit der russischen Sprache, um einige Arbeiten Lobatschewskys im Original lesen zu können. In einigen Briefen an Freunde äußerte er sich lobend über die Leistungen des russischen Staatsrates, aber er vermied es doch, die Idee einer nichteuklidischen Geometrie in der Öffentlichkeit zu vertreten. So widersprach er auch der ablehnenden Besprechung in einer Berliner Zeitschrift nicht, aber immerhin sorgte er dafür, daß Lobatschewsky im Jahre 1842 zum auswärtigen Mitglied der Göttinger Akademie gewählt wurde."

Die Biographen [B1, S. 59] werten wie folgt: "Die Gedanken von Lobatschewski zu den Grundlagenfragen der Geometrie führten zu einer breiten und vielschichtigen Entwicklung. Sie wirkten sich auf Ausgangspunkte und Formen des Aufbaus der Mathematik aus. In der Folgezeit fanden sie auch Anwendung in der Mechanik, in anderen Teilen der Physik und in der Astronomie. Sie beeinflußten auch philosophische Überlegungen. In der Geschichte der Mathematik, der exakten Wissenschaften und der Philosophie wird der Name von Lobatschewski stets neben denen von Archimedes, Galilei, Kopernikus, Newton und anderen großen Wissenschaftlern stehen. Man sprach oft davon, daß Lobatschewski der Kopernikus der Geometrie sei. Auch Gauß hatte die Existenz einer solchen neuen Geometrie lange nicht für möglich gehalten. Er hatte sich seit 1792 mit Grundlagenfragen der Geometrie beschäftigt. In seinen Überlegungen war er offenbar recht weit gekommen und hatte ähnliche Ergebnisse wie Lobatschewski erreicht.
 

Bald nach dem Tode von Gauß begann man mit der Herausgabe seines Briefwechsels. Seine insbesondere in mehreren Briefen an Schumacher enthaltenen Äußerungen zur nichteuklidischen Geometrie richteten die Blicke vieler Mathematiker erneut auf die fast vergessenen Arbeiten von Bolyai und Lobatschewski. Damit rückte das Problem der Widerspruchslosigkeit der nichteuklidischen Geometrie wieder in den Mittelpunkt."

Stimmen über Lobatschewski

Die Meinung der ihn umgebenden zeitgenössischen Wissenschaftler und Mathematiker [fett RS]
Nach den von mir eingesehenen Quellen gab es das negative Gutachten von Nikolaus Fuß 1823 und das negative Gutachten von Ostrogradski 1832, Lobatschewski berichtet selbst in einer Fußnote von einem beleidigenden Artikel in der Zeitschrift "Sohn des Vaterlandes". Ein auf seine Bitte hin von der Fakultät 1826 in Auftrag gegebenes Gutachten kam bis 1834 nicht zustande und die Schrift wanderte ins Archiv. Im abc-fachlexikon der forscher und erfinder (1992, S. 374) wird unter dem Eintrag Lobatschewski u.a. berichtet: "... Das verdienstvolle Wirken von L. an der Univ. Kasan, sein pädagogisches und organisatorisches Engagement (er führte im Kasaner Schulbezirk erstmals eine Art Lehrerweiterbildung ein) hatten ihm bald die hohe Wertschätzung vieler Vorgesetzter, Kollegen und Studenten (aber natürlich auch viele Anfeindungen) und schließlich zahlreiche staatliche Ehrungen (1837 erbliche Erhebung in den Adelsstand) eingebracht. Dies trug jedoch nicht zur Anerkennung seines wissenschaftlichen Lebenswerkes bei, das vielmehr in seiner Umgebung zeitlebens als verzeihliche Wahnidee eines sonst verdienten Mannes angesehen wurde. Nur GAUSS verfolgte nach der Bekanntschaft mit L.s erster deutschsprachiger Veröffentlichung (1840) dessen weitere Arbeiten mit großem Interesse (er lernte zu diesem Zweck sogar Russisch). ..."

Gauß: "... auf eine meisterhafte Art in ächt geometrischem Geiste."

Die Rezension 1840 in Gersdorfs' Repertorium der gesammten deutschen Literatur
und einem inoffiziellen Kommentar Gaussens vom 8.2.1844

Euklid, Wallis, Saccheri (Titel), Lambert, Legendre, Schweikart, Taurinus,
Gauß, Lobatschewski, Bolyai [falsch], Beltrami, Klein, Riemann, Poincaré.

Vorgeschichte und Geschichte der Anerkennung der nichteuklidischen Geometrie

Die fünf Postulate Euklids
Zitiert nach:  Euklid (dt. 1969). Die Elemente. Buch I-XIII. Hrsg. u. übersetzt von C. Thaer. Darmstadt: WBG, S. 2-3

Zum Verständnis des Parallelenaxioms und der nichteuklidischen Geometrie
Um die Psychologie einer Forschungsleistung einschätzen zu können, ist es eigentlich notwendig, die Forschungsleistung im Kern zumindest zu verstehen und die Zeit, in der diese Forschungsleistung erbracht wurde, zu kennen und zu berücksichtigen, weil sich im Nachhinein vieles anders darstellt. Beides ist mir nur unzulänglich möglich, so daß ich hier nur einen allerersten Versuch auf den Weg bringen kann.

   Aus Meschkowski, Herbert (1966). Einführung in die moderne Mathematik. Mannheim: BI, S. 12f

Die ersten vier Axiome Euklids gelten auch in der nichteuklidischen Geometrie.

Sätze der Nichteuklidischen Geometrie nach A. Filler

[Quelle A. Filler] "Sätze der nichteuklidischen Geometrie (1)
V'. (Lobatschewskisches Parallelenaxiom):
Es existiert eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P, durch den mindestens zwei Geraden verlaufen, die g nicht schneiden.

• Satz: Falls die Axiome der absoluten Geometrie und V' gelten, so existieren zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P mindestens zwei Geraden, die durch P verlaufen und g nicht schneiden.
• Satz: Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt P existieren unendlich viele Geraden, die durch P verlaufen und g nicht schneiden.
• Satz: (Kongruenzsatz "www"): Stimmen zwei Dreiecke in allen drei Winkelmaßen überein, so sind sie kongruent.
• Satz: (Innenwinkelsatz der Lobatschewski-Geometrie): Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks ist kleiner als zwei Rechte.
• Satz: (Außenwinkelsatz der Lobatschewski-Geometrie): Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist größer als die Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel."

Die Geschichte der Parallellinien gehört für mich zu den faszinierendsten Themen, mentalen Dramen und ihre Lösung zu den Großtaten der Geistesgeschichte. Über 2200 Jahre hat das 5. Postulat viele Mathematiker, mathematisch Interessierte (z.B. Schweikart) wie "Cranks" beschäftigt, fasziniert, irritiert, herausgefordert, gequält, genarrt und ich möchte nicht wissen, wie viele darüber sonderbar, depressiv (Kaestner?) oder gar verrückt (Bolyai?) wurden und ihre Beziehungen und Lebensqualität durch ihre leidenschaftliche Besessenheit für die Mathematik aufs Spiel setzten. So ist die Geschichte um das "Parellelenpostulat" nicht nur interessant für mathematisch Interessierte und die Denkpsychologie (die sich leider um 'die' Mathematik ganz wenig kümmert, sofern sie überhaupt noch existiert), sondern sie hat auch ihren besonderen Reiz für PsychopathologInnen. Ist die Mathematik wirklich so klar und exakt, wie sie sich immer gibt? Wieso gab es so viele 'Beweise', die alle falsch waren; und zwar 'Beweise' nicht von irgendwelchen "Cranks", sondern guten oder sogar hervorragenden Vertretern des Faches (z.B. Lindemann)? Klügel allein fand ja schon im Auftrag Kaestners in seiner meist wohl zu Recht gerühmten Dissertation 28 und ausschließlich fehlerhafte 'Beweise'. So mag man sich an dieser Stelle auch einmal fragen: Was heißt eigentlich Definition (was ist eine 'Gerade', ein 'Eck', ein 'Dreieck', eine 'Parellele')  Satz (Theorem), Beweis und gültiger Schluß? Was bedeuten die Begriffe "Verlängerung ins unendliche" und "treffen"?  "Parallel" kommt übrigens gar nicht vor, obwohl es in der letzten Definition zuvor schon eingeführt wurde.

In der Psychologie der nichteuklidischen Geometrie als Forschungsleistung stecken eine ganze Reihe spannender Fragen, so z. B.:

• Wie konnte das fünfte Postulat Euklids über 2200 Jahre so viel Verwirrung stiften und so viele fehlgeschlagene Beweisversuche hervorlocken?
• Wie kann man die dem gesunden Menschenverstand und der Anschauung völlig zuwiderlaufende Konstruktion einer euklidischen Geometrie jenseits des Parallelenaxioms verstehen?
• Wie konnten Menschen zu solchen un- und außergewöhnlichen geistigen Konstruktionen fähig sein?
• Wie kann man einen Menschen und Denker wie Lobatschewski verstehen, so lange, so konsequent und so alleine unbeirrt und unverstanden seinen Weg zu gehen? Wie hat er das ausgehalten, wie konnte er das verkraften?
• Was kann die Psychologie der Wissenschaft daraus lernen?
• Was können wir alle von Lobatschewskis Leben und Denken lernen?

Was 'ist' eigentlich ein 'Dreieck' ?

In der technisch entwickelten Mathematik ist seit Entwicklung der Mengenlehre und der damit verbundenen Grundlagenkrise und ihrer mühseligen Behebung durch den Formalismus für Außenstehende so gut wie nichts mehr klar. Man kann und darf sich - weniger denn je - auf keinerlei Vorverständnis oder gesunden Menschenverstand verlassen. In diesem Zusammenhang muß man auch Fragen sehen wie: was ist eine 'Gerade', ein 'Eck', ein 'Dreieck', der 'kürzeste Abstand' zwischen zwei Punkten oder eine 'Parallele'?

Anmerkung: D10 bis D14 wurde aus dickerem Papier ausgeschnitten und mit der Hand "gewellt" und fotografiert; "Loch" in D12 mit Malprogramm.

Wie selbstverständlich nimmt man gewöhnlich an, wenn man von einem Dreieck spricht, daß es sich um ein Dreieck vom Typ D3 handelt. Betrachtet man sich jedoch die anderen drei Figuren, D1, D2 und D4, wird offensichtlich, daß es eigentlich überhaupt nicht so klar ist, was ein Dreieck "ist". Ja, es ist noch nicht einmal klar, was ein "Eck" ist, und einige mathematische Lexika und Wörterbücher enthalten "Eck/eckig/"Ecke" noch nicht einmal als Eintrag. Bei D2 scheinen nur die beiden unteren Ecken Ecken zu sein, die obere 'Ecke' wirkt ziemlich rund. Ebenso wenig selbstverständlich oder klar ist, daß die Verbindungen zwischen den Ecken Gerade sind. Meist nimmt man auch an, daß die Dreiecksfiguren D1, D2 und D3 in einer "Ebene" liegen (gilt nicht for D10-D14), so daß zu fragen ist: was "ist" eine "Ebene"? Weiter nimmt man gewöhnlich an, daß diese Ebene zweidimensional überall gleich flach ist. Dies bringt die Vorstellung von Dimensionen ins Spiel. Kein Mensch würde auch auf die Idee kommen,  D4 oder D5 ein Dreieck zu nennen, womit deutlich wird, daß mit dem üblichen Dreiecksbegriff offenbar auch eine geschlossene Figur assoziiert wird. Damit kommen wir zur Frage, wann ist eine Figur geschlossen, wann offen, was heißt das? Und, man denkt sich die Verbindungen zwischen den Ecken gewöhnlich auch dicht oder stetig, ohne jede Unterbrechung. Das ist bei D7 und D8 nicht der Fall. D8 hat wahrnehmungspsychologisch Dreiecksgestalt, aber das ist kein mathematischer Begriff, und es wird durch "Schweizerkäse-Geraden verbunden". Noch deutlicher zeigt D0, wie sehr wir allein durch unsere Wahrnehmung in die drei Punkte ein Dreieck hineinsehen, was sich durch einfache wahrnehmungspsychologische Experimente bestätigen läßt. Als doppelt paradox anmutendes Kuriosum wurde D9 aufgenommen: die erste Paradoxie besteht darin, daß in einem Viereck das Wort "Dreieck" steht. Das Wort "Dreieck" ist natürlich selbst kein Dreieck, sondern ein Wort aus 7 Buchstaben, das Wort ist der Name des Begriffs [Objekt / Metasprache]. Andere Kuriosa sind D12: trotz des "Loches" nimmt ein gewellt-geknicktes und nicht-ebenes Dreieck wahr. D14 zeigt ein gewelltes "großes" Dreieck, das genau genommen aus 11 Ecken besteht.
    Nichts ist also bei genauer Betrachtung selbstverständlich, sondern schlicht und einfach Gewohnheit, Erziehung oder Lernen in einer bestimmten Kultur, manches einfach nur Vorteil oder Meinung. Es gehört zu den großen Leistungen der Mathematik, diese scheinbaren "Selbstverständlichkeiten" gehörig in Frage zu stellen - manchmal sogar sie nachhaltig und tiefgreifend zu erschüttern - und klar zu stellen, welche Voraussetzungen und Annahmen jeweils für diese oder jene Auffassung und Deutung getroffen werden müssen.
    Damit habe ich Sie, werte LeserIn, hoffentlich genügend kritisch sensibilisiert und wir können uns nun an die Hauptfrage heranmachen: Wie kann man denken, daß die beiden Geraden in Euklids 5. Postulat sich nicht treffen, wobei wir der Einfachheit halber erst mal annehmen wollen, daß "treffen" auch "schneiden" bedeutet, was keineswegs zwingend ist.

Wie kann man das fünfte Postulat Euklids in Zweifel ziehen und seine Nichtgültigkeit denken?

Zur Erinnerung, das 5. Postulat Euklids lautet wie bei den meisten  in der Übersetzung von Thaer, WBG 1969, S. 3:
 

"Und daß, wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden Linien bewirkt, daß innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen kleiner als zwei Rechte werden, dann die zwei geraden Linien bei Verlängerung ins Unendliche sich treffen auf der Seite, auf der die Winkel liegen, die zusammen  kleiner als zwei Rechte sind."

Die denkpsychologische Sperre läßt sich gut darstellen an einer Ausführung, die Dudley in seinem Buch "Mathematik zwischen Wahn und Witz" im Kapitel "Euklids fünftes Axiom" macht (der Autor interpretiert Euklids "treffen", wie gewöhnlich, mit "schneiden"):

Der gesunde Menschenverstand, unsere Gewohnheit und Intuition sagen uns, daß zwei Gerade mit einem kleineren Innenwinkel von zusammen 180% irgendwann einander treffen müssen. Und die Nichtbeweisbarkeit des Parallelenaxioms sagt uns, daß das genau nicht der Fall sein muß. Man kann es denken und so einrichten, dann entsteht die euklidische Geometrie. Und wenn man darauf verzichtet entsteht nichteuklidische Geometrie. Daß man dies denken kann, wurde durch all jene Denker bewiesen, die bewußt versucht haben, eine Geometrie aufzubauen, die eben das 5. Postulat Euklids nicht verwenden bzw. dessen Negation. Denken, das ist klar, kann man es. Aber kann man es sich auch anschaulich vorstellen?

Anschauungsargument 1: Müssen zwei geneigte Gerade im Unendlichen zusammentreffen ?

Das ist eine verblüffend einfache Veranschaulichung, die zeigt, daß man sich in der Tat anschaulich vorstellen kann, daß sich zwei geneigte Gerade im Unendlichen nicht treffen müssen. Sie sind sozusagen nicht 'lang' genug für die 'Unendlichkeit'.
 

Anschauungsargument 2: Müssen Fortlaufende G1, G2 immer einen Anfang oder ein Ende haben ?

Das lineare Denken [1,2,] geht meist davon aus, daß alles einen Anfang (Ursache) und ein Ende (Wirkung) hat. Betrachtet man sich die Welt und das Leben genauer, kann man feststellen, daß es zu vielen Phänomenen - natürlich nicht unbedingt allen -  nicht den einen "Anfang", sondern immer noch einen früheren gibt. "Anfang" und "Ende". Darauf beruht z.B. die philosophische Lehre des Determinismus, des Kausalprinzips und die Verneinung der Willensfreiheit. In dem Anschauungsbeispielzylinder schneiden sich die "Mantelgeraden", G1 ein Kreis, G2 eine Ellipse nicht. Das Beispiel Umkreis veranschaulicht, daß jeder Punkt als Anfang oder als Ende betrachtetet werden könnte. Im Kreis drehen ist daher auch eine Metapher für keine Lösung finden. In der Psychotherapie der zwischenmenschliche Konflikte macht es oft keinen Sinn, danach zu suchen, wer "angefangen" hat, weil damit nicht selten nur ein Spiel ohne Ende, bzw. ein Henne-Ei-Problem, das außer ewigen Debatten und wechselseitigen Vorwürfen zu nichts führt, in Gang gesetzt wird. Eine Schwäche dieser Überlegungen ist, daß hier der intuitive Geradenbegriff verlassen und verallgemeinert wird.
    Stellt man sich unter "Gerade" den kürzesten Weg auf einem Objekt relativ zu einem Bezugssystem, z.B. dem Mittelpunkt einer Kugel, vor so schneiden sich alle 'Großkreis-Geraden' und es gibt unendlich viele.
    So viel erst mal zum Thema, wie man über das 5. Postulat hinausdenken und sich andere Möglichkeiten vorstellen kann. Zu den verschiedenen Modellen und ihren Deutungen siehe auch die Newsletter-Seite von Jutta Gut zur nichteuklidischen Geometrie. Dort werden auch weitere Links angegeben.

Die Forschungsleistung Lobatschewskis kann nicht hoch genug eingeschätzt werden, weil er sehr viele Widerstände, Ablehnung, Unverständnis, Kopfschütteln bis hin zu massiven Entwertungen aushalten mußte und ganz alleine auf sich gestellt war. Umso erstaunlicher wirkt, wie er das alles mit stoischer Gemütsruhe und trotz beleidigender Äußerungen mit Gelassenheit und Beherrschung - im Gegensatz zu Janos Bolyai, dem es weitaus schlechter ging - souverän gemeistert zu haben scheint. Er wirkt an keiner Stelle gebrochen, tief oder nachhaltig gekränkt; er wendet sich nicht ab und läßt sein Werk liegen, nein, er setzt es konsequent fort, vertieft es und baut es aus. So erscheint seine Haltung eine Meisterleistung an unbeirrbarer Souveränität, ohne Überheblichkeit, ohne Verzweiflung, ohne Zorn, ohne Rache oder reaktiver Entwertung der Verständnislosen oder auch Mißgünstigen.
 

Werke von Lobatschewski

• Lobatschewski, N. I. (russ. 1828). Über die Resonanz  oder wechselseitige Schwingung von Luftsäulen. Kasan: Kasaner Bote. Zeitschrift.
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1829, 1830; dt. 1898). Über die Anfangsgründe der Geometrie (russ.). Kasan: Kasaner Bote. Zeitschrift.
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1832). Über die wichtigsten  Fragen der Erziehung, Rede vom 5. Juli 1828 (russ.). Kasan: Kasaner Bote. Zeitschrift.
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1834). Algebra oder die Rechnung mit endlichen Größen. Kasan.
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1834). Erniedrigung des Grades einer zweigliedrigen Gleichung, wenn der um eins verminderte Grad durch acht teilbar ist. Kasan: Wissenschaftliche Schriften der Universität Kasan, Zeitschrift .
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1834). Über die Konvergenz der trigonometrischen Reihen (russ.). Kasan: Wissenschaftliche Schriften der Universität Kasan, Zeitschrift.
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1835). Die Bedingungsgleichungen für die Bewegung und die Lage der Hauptdrehungsachsen eines starren Systems. Moskau: Wissenschaftliche Schriften der Universität Moskau, Zeitschrift.
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1835, fr. 1837, dt. 1904). Vorgestellte Geometrie. Kasan: Wissenschaftliche Schriften der Universität Kasan, Zeitschrift. [fr. in Grelles Journal für reine und angewandte Mathematik]
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1835). Ein Verfahren, um sich von der Konvergenz unendlicher Reihen zu überzeugen und sich dem Werte von Funktionen sehr großer Zahlen anzunähern. Kasan: Wissenschaftliche Schriften der Universität Kasan, Zeitschrift.
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1835, engl. 1897, dt. 1898, fr. 1900). Neue Anfangsgründe der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der  Parallellinien. Kasan: Wissenschaftliche Schriften der Universität Kasan, Zeitschrift.
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1836). Anwendung der vorgestellten Geometrie auf einige Integrale. Kasan: Wissenschaftliche Schriften der Universität Kasan, Zeitschrift.
• Lobatschewski, N. I. (1840). Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Berlin: Funcke.
• Lobatschewski, N. I. Über die Konvergenz der unendlichen Reihen (deutsch):  In: Lobatschewski, N. I. (1841). Meteorologische Beobachtungen aus dem Lehrbezirk der Kaiserlich Russischen Universität Kasan, herausgegeben von E. Knorr, Kasan
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1842). Die totale Sonnenfinsternis in Pensa am 26. Juni 1842 (russ.). Kasan: Wissenschaftliche Schriften der Universität Kasan, Zeitschrift..
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1845). Ausführliche Analyse der von dem Magister A. Popow zur Erlangung des Doktorgrades in der Mathematik und Astronomie vorgelegten Dissertation, betitelt: „Über die Integration der Differentialgleichungen der Hydrodynamik, wenn diese auf lineare Form gebracht sind'' (russ.). In: Anhang der Dissertation. Kasan.
• Lobatschewski, N. I. (dt. 1855, russ. 1852). Der Wert einiger bestimmter Integrale. Kasan: Wissenschaftliche Schriften der Universität Kasan, Zeitschrift. Archiv für wissenschaftliche Kunde von Rußland.
• Lobatschewski, N. I. (russ. 1855, fr. 1856, dt. 1858, ital. 1867). Pangeometrie. Kasan: Wissenschaftliche Schriften der Universität Kasan, Zeitschrift.

Werke von Lobatschewski in deutscher Sprache

• Lobatschewski, Nikolai Iwanowitsch (dt. 1899). Zwei geometrische Abhandlungen. Aus dem Russischen übersetzt mit Anmerkungen und einer Biographie des Verfassers von F. Engel. Reihe Urkunden zur Geschichte der Nichteuklidischen Geometrie. Hrsg. von Friedrich Engel und Paul Stäckel. I. Nikolaj Iwanowitsch Lobatschewskij. Leipzig: Teubner.
• Lobatschewski, N. I. (dt. 1904, russ. 1835). Imaginäre Geometrie und Anwendung der Imaginären Geometrie auf einige Integrale. Aus dem Russischen übersetzt und mit Anmerkungen versehen vor G. Liebmann. Leipzig: .
• Lobatschewski, N. I. (dt. 1840). Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Berlin 1840: Finck' sche Buchhandlung [1887 Famsimile davon]
• Lobatschewski, N. I. (1902). Pangeometrie. Deutsch ed. von H. Liebmann, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 130, Leipzig

Biographische Literatur

• Alexandrow, P. S. (russ. 1956). N. I. Lobatschewski — ein großer russischer Mathematiker. Moskau:
• Autorenkollektiv (1989). Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski. In: Wußing, Hans & Arnold, Wolfgang (1989, Hrsg.), 345-357. [B3]
• Engel, F. (1899). Biographie Lobatschewskis. In: Lobatschewski (dt. 1899). Zwei geometrische Abhandlungen.
• Engel, F. & Stäckel, P. (1898, Hrsg.). Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski. In: Urkunden zur Geschichte der nichteuklidischen Geometrie, Bd. 1. Leipzig 1898.
• Halameisär, Alexander & Seibt, Helmut (1978). Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski. Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner. Bd. 34. Leipzig: Teubner. [B1]
• Istoriko - mathematiceskie issledovanija, Bd. IX. (1956). (Sammelband von Arbeiten über Leben und Wirken von N. I. Lobatschewski). Moskva 1956.
• Kagan, W. F. (russ. 1944). Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (russ.). Moskau:
• Laptew, B. L. (russ. 1976). Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski. Kasan:
• Meschkowski, Herbert (1990). Bolyai und Lobatschweski: Nichteuklidische Geometrie. In (S. 133 - 147): Die Denkweisen großer Mathematiker. Braunschweig: Vieweg. [B2]
• Modsalevskij, L. B. (russ. 1948). Materialy k biografii N. I. Lobacevskogo. [Materialien für die Biographie von N. I. Lobatschewski.]. Moskva-Leningrad 1948.
• Sagoskin, N. P. (russ. 1902-1904). Geschichte der Kasaner Universität von 1804 bis 1904. 4 Bände. Kasan 1902-1904.
• Wußing, Hans & Arnold, Wolfgang (1989, Hrsg.). Biographien bedeutender Mathematiker. Eine Sammlung von Biographien. Darmstadt: WBG.  [B3]

Geschichte des Parallelen-Postulats und der nichteuklidischen Geometrie

• Bonola, R.: Die nichteuklidische Geometrie. Historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung. Bearbeitet von H. Liebmann, 2. Auflage, Leipzig/Berlin 1919.
• Engel & Stäckel > Stäckel
• Engel, Friedrich  & Stäckel, Paul (1899, Hrsg.). Urkunden zur Geschichte der Nichteuklidischen Geometrie. I. Nikolaj Iwanowitsch Lobatschewskij. Leipzig: Teubner. [= Lobatschewski, Nikolai Iwanowitsch (dt. 1899). Zwei geometrische Abhandlungen. 2 Tle. ]
• Gauß, C. F.: Werke, 12 Bände. Leipzig, Berlin, usw. 1863 bis 1933.
• Klügel, Georg S. (1763). Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio. [deutsch] Dissertation Göttingen.

Hierzu Meschkowski [B2, S. 133]: "l  Die Dissertation von Klügel. Im Jahre 1763 legte der Göttinger Mathematiker Abraham Kästner (1719-1800) seiner Fakultät eine Dissertation {XIII 1] seines Schülers Georg Klügel (1739-1812) vor, in der er die wichtigsten Beweisversuche für das Euklidische Parallelenpostulat (Kap. II) kritisch untersucht hatte. Er kam zu dem Ergebnis, daß alle 28 Versuche unzulänglich waren. Es ist schon im Kap. II gesagt worden, daß viele Mathematiker meinten, das Parallelenpostulat sei überflüssig; es müsse beweisbar sein, da seine Umkehrung aus den übrigen Postulaten und Axiomen Euklids hergeleitet werden könne. Und man war gewöhnt, daß man in der Geometrie bei Vertauschung von Voraussetzung und Behauptung immer wieder zu einer richtigen Aussage kommt."
• Klein, Felix (1928; Nachdruck 1968). Die Geschichte der nichteuklidischen Geometrie ; Beziehungen zur Axiomatik und zur Differentialgeometrie. In (S. 271-306): Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie. Reihe: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Bd. 26. Berlin: Springer.
• Kolman, E.: Velikii russkii myslitel' N. I. Lobacevskij. 2. Auflage, Moskva 1956.
• Lobacevskij, N. I.: Tri cocinenija geometrii. Ed. P. L Norden und V. F. Kagan, Moskva 1956.
• Reichardt, H.: Gauß und die Anfänge der nichteuklidischen Geometrie. Mit Originalarbeiten von J. Bolyai, N. I. Lobatschewski und F. Klein. Leipzig 1985.
• Stäckel, P. / Engel, F.: Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauß, eine Urkundensammlung zur Vorgeschichte der nichteuklidischen Geometrie. Herausgegeben von P. Stäckel. Leipzig 1895. [siehe auch: Engel]

Einführungen in die nichteuklidische Geometrie von Lobatschewski (Auswahl)

• Buchmann, G. (1975). Nichteuklidische Elementargeometrie. Reihe Mathematik Lehrerausbildung. Stuttgart: Teubner.
• Filler, A. (1993). Euklidische und nichteuklidische Geometrie. Mathematische Texte Band 7. Mannheim: BI. [Homepage]

• Anwendungen nichteuklidische Geometrie: [1,2,3,4,] Aus [1].


• Google: Lobatschewski, Lobatschewski +Biographie, Lobatschewski +Leben, Lobatschewski +Nichteuklidische Geometrie.
• Cinderella Geometrieprogramm (euklidisch und nichteuklidisch): http://cinderella.de/tiki-index.php. [1,2,3,]
• Allgemeine Geometrie: [1,Filler,]
• Minkowski Diagramme (Gauss-Lobatschewski-Geometrie).
• Nichteuklidische Geometrieseite von Jutta Gut.
• Geschichte des Parallelenproblems von Klaus Volkert (Vorlesung, gehalten an der Universität Frankfurt im WS 02/03)
• Querverweis: Mathematikgeschichte-Links.
• Digitale Mathematik Bibliothek: http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~rehmann/DML/dml_links_title_Z.html.
• Digitalisierungszentrum Göttingen: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/index.html.
• Hilbert (1892): Über die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte.
• Hilbert (1899): Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie.
• Hilbert (1901): Ueber die Grundlagen der Geometrie.
• Hilbert (1909): Ueber die Grundlagen der Geometrie.
• Hilbert (1932): Über anschauliche Geometrie.
• Mathematiker Biographien: [1,2,3,]
• Geschichte der russischen Akademie der Wissenschaften. [1,2,3,]
• Geschichte Rußlands [1,2,3,]
• Geschichte Kasans [Wikipedia, 2, 3,]

Die verschiedenen Geometrien und ihre unterschiedlichen Bezeichnungen
Absolute Geometrie (Bolyai, Lobatschewski, B1-S.28,) * Allgemeine Geometrie (B1-S.38) * Analytische Geometrie * Antieuklidische Geometrie (Gauß) * Astralgeometrie (Schweikart) * Darstellende Geometrie * Differentialgeometrie [1,2,3,] * Elliptische Geometrie (Riemann) [1, 2, 3,]. * Euklidische Geometrie (Euklid, Hilbert) * Geometrie (allgemeine) * Grundlagen der Geometrie (Hilbert) * Hyperbolische Geometrie [1, 2, 3,] * Imaginäre Geometrie (Lobatschewski) * Nichteuklidische Geometrie [1, 2, 3,] * Projektive Geometrie * Pangeometrie (Lobatschewski) * Sphärische Trigonometrie (Geometrie der Kugeloberfläche) * Vorgestellte Geometrie (Lobatschewski) *

Zusammenhänge in der Mathematik und ihrer Teilgebiete
Im dtv-Atlas Mathematik (1974 ff) wird im ersten Bd. folgende systematische Übersicht und der Zusammenhänge gegeben:

[1] Konforme Abbildungen und nichteuklidische Geometrie:

"Da die Begriffe des Kurstitels in der Regel in der Schulmathematik nicht vorkommen, zunächst einige Erläuterungen. Konforme Abbildungen sind Abbildungen eines Teilgebiets der komplexen Ebene auf ein anderes Teilgebiet derselben, die in gewissem Sinne winkelerhaltend sind; winkelerhaltend bedeutet in diesem Zusammenhang, dass der Winkel zweier sich schneidender Kurven im Ausgangsgebiet gleich dem Winkel der Bildkurven ist. In dem Kursabschnitt über konforme Abbildungen sollen zumindest Teilantworten zu den folgenden beiden essentiellen Fragen gegeben werden: Welche Gebiete können überhaupt konform aufeinander abgebildet werden - z.B.: Halbebene-Kreis, Polygon-Kreis, Mandelbrotmenge-Kreis, etc.? Kann man diese konformen Abbildungsfunktionen - evtl. nur bei speziellen Gebieten - bestimmen? Unter nichteuklidischen Geometrien versteht man, grob gesprochen, die Geometrien, die sich ergeben, falls man das sogenannte Parallelenaxiom fallen lässt. Das Parallelenaxiom besagt, dass es zu einer gegebenen Gerade und einem beliebigen Punkt außerhalb der Geraden genau eine Gerade gibt, die diesen Punkt enthält und zur gegebenen Gerade parallel liegt. Bei vergleichbar kleinen Abständen sind euklidische und nichteuklidische Geometrien im wesentlichen äquivalent. Hat man es jedoch mit Abständen im Weltraum oder mit Problemen der modernen Physik wie der Relativitätstheorie zu tun, beschreiben die nichteuklidischen Geometrien die beobachteten Phänomene meist genauer als die euklidische."

"Kugelzweieck und Kugeldreieck finden Aufmerksamkeit (Nepersche Regel) und es ergibt sich die Möglichkeit, erste Anwendungen zu besprechen, z.B. die Untersuchung räumlicher Kristalle ohne Verwendung der Vektorrechnung. Es schließen sich die Sätze zur Berechnung allgemeiner, schiefwinkliger Kugeldreiecke an. Ein Vergleich mit der Trigonometrie ebener Dreiecke soll diesen Teil abrunden. Ein Schwerpunkt des Kurses wird die Anwendung auf Probleme der Geographie und der Astronomie sein, wobei aufgrund der Vielfalt hier nur einige von den Teilnehmenden untersucht werden können, beispielsweise im Flugwesen bzw. der Schifffahrt (kürzeste Entfernung zwischen zwei Orten, Kurswinkel und Loxodrome, Prinzip der Funkortung). Dabei muss man verschiedene Kartenentwürfe der Erdkugel diskutieren. Eine besondere Bedeutung kommt dem Mercator-Entwurf zu, die Ursache hierfür kann mit Hilfe des vermittelten Stoffes geklärt werden. Im Bereich der Astronomie geht es hauptsächlich um das Kennenlernen verschiedener Koordinatensysteme zur Orientierung an der Himmelskugel, welche z.B. zur Berechnung des Auf- und Untergangs von Gestirnen dienen."

"Die Kategorisierung von Objekten bis zur Basisebene ...
Die zentrale Hypothese des zweiten Kapitels lautet, dass die Kategorisierung von Objekten bis zur Basisebene ebenfalls transformational erklärt werden kann   - und zwar einfach durch eine Erweiterung der zulässigen Transformationen auf nicht-Euklidische und insbesondere topologische (d.h. raumkrümmende) Transformationen. Topologische Transformationen lassen sich auf einfache Weise durch die Metapher eines Gummituchs veranschaulichen: Wenn man das Bild eines Schäferhundes auf ein Gummituch malt, dann kann durch ein Verformen des Gummituchs die Form des Schäferhundes in die Form eines anderen Hundes, wie z.B. eines Boxers transformiert werden. Nach dem transformationalen Modell erfolgt die Kategorisierung durch eine verformende Transformation der Kategorierepräsentation. Das Erkennen nach räumlichen Transformationen und das Kategorisieren von Objekten erfolgen somit auf Basis der gleichen Verarbeitungsprinzipien  -  nur die zugrundeliegenden Transformationen unterscheiden sich. Die verschiedenen Transformationen, die beim Erkennen und Kategorisieren eines Objekts eine Rolle spielen können, lassen sich anhand der Hierarchie geometrischer Transformationen klassifizieren, die Felix Klein im Jahr 1872 in seinem Erlanger Programm spezifiziert hat.
Es wird somit die Hypothese formuliert, dass die Kategorisierung von Objekten durch topologische Transformationen erfolgt. In Anlehnung an die im ersten Kapitel dargestellten Befunde wird postuliert, dass es sich  -  wie bei den Rotationen, Größenskalierungen und Translationen  -  auch bei den topologischen Transformationen um zweikonsumierende, fehleranfällige und analoge Transformationsprozesse handelt.
Dieses Modell kann nicht nur die Leistung beim Kategorisieren von Objekten erklären, sondern bietet auch einen Erklärungsansatz für die Ähnlichkeit von Formen. Nach dem vorliegenden Modell nimmt die Ähnlichkeit von Formen ab mit zunehmendem Umfang topologischer Transformation, die für eine räumliche Ausrichtung erforderlich ist."