Einführung. Wenn Sie sich mit der Frage beschäftigen, ob der Kreter nun lügt oder die Wahrheit sagt, werden Sie schnell irritiert oder / und wütend werden können, wenn Sie z.B. seelisch- geistig ähnlich strukturiert sind wie der Schreiber dieser Zeilen. Zugleich werden Sie erkennen, was die Typentheorie leistet, wenn Sie sich vergegenwärtigen, daß das Lügnerproblem mit der Akzeptanz der Typentheorie verschwindet oder gelöst wird.

Aus der Geschichte der logischen und mathematischen Grundlagenforschung wird berichtet, daß um die Jahrhundertwende eine Reihe von logischen Paradoxien aufgetreten sind, die mit der sog. "Grundlagenkrise der Mathematik" im Zusammenhang stehen sollen. In der Tat soll einer der wichtigen Begründer der modernen Logik, Gottlob Frege, über der logischen Antinomie, die im Lügnerproblem zum Ausdruck kommt, nach 4 Jahren vergeblicher Suche nach einer Lösung, an der Vollendbarkeit seiner Logizismus Programm gezweifelt haben und darüber recht verzweifelt gewesen sein. Bertrand Russell und Alfred Withehead lösten das Problem schließlich, allerding tauchten später weitere tiefgreifende Probleme in der Logik auf (Gödel'sche Unvollständigkeitssätze, auf die wir aber hier nicht eingehen wollen). Die Lösung bestand in der sog. "Typentheorie", die besagt, daß man in Widersprüche, Paradoxien und Antinomien geraten kann, wenn man die Ebenen der Aussagen vermischt. Was heißt das nun?

Betrachten wir diese Aussage genau, so können wir feststellen, daß der Kreter nichts inhaltliches direkt sagt, sondern über die Aussagen von Kretern spricht. Wir können das Problem noch weiter klärend vereinfachen zu der Aussage:

(1) Ist das eine Lüge, dann sage ich die Wahrheit, also lüge ich also nicht. (2) Und ist es die Wahrheit, dann lüge ich doch nicht. (1) und (2): Widerspruch!

Die grundlegende Idee der Typentheorie ist nun, zu unterscheiden zwischen verschiedenen Aussageebenen, man sagt später in der Beweistheorie und Meta-Logik, daß man zwischen Objektsprache und Metasprache unterscheiden müsse - sonst gerät man sozusagen in Teufels Küche. Spricht man in einer Sprache, so können wir direkte Ausdrücke in dieser Sprache an Objektsprache bezeichnen. Nun kann man aber auch über Aussagen dieser Objektsprache sprechen, dann sagt man, daß man in der Metasprache 1. Stufe über die Objektsprache spricht. Sage ich "Dieser Satz ist kurz", so spreche ich nicht in der Sprache über die Welt, sondern über die Sprache mit der ich über die Welt spreche. Einigen wir darauf, daß Sätze, die nicht mehr als fünf Worte haben, kurz heißen sollen, dann ergibt sich aus dieser Einigung über dieser Kurz- Definition, daß die Aussage, "Dieser Satz ist kurz" wahr ist. Wahr ist ebenfalls ein - relationaler - metasprachlicher Ausdruck, der eine Übereinstimmung zwischen zwei Modellen oder Welten erkennt: der Welt aller als kurz definierten Sätze mit dem Satz "Dieser Satz ist kurz". Das hört sich plausibel an, ist aber problematisch, weil hier eine 2. Metaebene hineinkommt. "Dieser Satz ist kurz" bezieht sich auf sich selbst, vermengt also seinerseits die 1. Metaebene mit der 2. Metaebene. Die Aussage "Dieser Satz ist kurz" klingt wie eine Aussage, ist aber in meiner Interpreation der Typentheorie keine, weil zwei Ebenen vermischt werden.

Die Russell'sche typentheoretische Lösung des Alle-Kreter-Lügner-Problems besteht darin folgende Relation zu verbieten (Brendel S. 53):

Die Aussagen Lügen oder die Wahrheit sagen sind metasprachliche Ausdrücke. Bei genauer Betrachtung der scheinbaren Aussage "Ich lüge" fällt auf, daß hier und damit beim Lügnerproblem gar keine Aussage auf der objektsprachlichen Ebene gemacht wird.

Eine einfache Lösung des Lügnerproblems ergibt sich durch folgende "Formalisierung".

Besteht eine Elementar- Aussage aus wenigstens einem Gegenstand und einem Merkmal, das diesem Gegenstand zu- oder  abgesprochen werden kann, so hat die einfachte Form einer Aussage folgende Gestalt:

Lies: M kommt G zu. Analog: G (-M): M kommt G nicht zu.

Frage wir nun, ob die Elememtaraussage wahr oder falsch ist, so kann dies formal so dargestellt werden:

ausführlich:

    S, der M von G aussagt, sagt die Wahrheit bzw. S, der M von G aussagt, lügt.

Ich lüge ergäbe demnach formalisiert: {S[]lügt} und hier sieht man nun, daß die eckigen Klammern, in der die inhaltliche Aussage stehen müßte, leer ist. Ob S lügt oder nicht, kann gar nicht entschieden werden, weil S in diesem Ausdruck gar nichts sagt. Die Probleme ergeben sich also durch nachlässige Sprache, durch Scheinaussagen, die, bei Lichte betrachtet, gar keine sind.

Literaturhinweis

Brendel, Elke (1992). Die Wahrheit über den Lügner. Eine philosophisch- logische Analyse der Antinomie des Lügners. Berlin: de Gruyter

Die Monographie zum Lügnerproblem enthält einen Überblick, eine Geschichte des Lügners und eine "Systematische Rekonstruktion einiger moderner Lösungsansätze".
Viele weitere Literaturhinweise finden Sie unter den Internetadressen.

Aus Quelle Janich:
http://www.uni-marburg.de/~janich/doc/willem_philosophie_der_mathematik.doc
Leseprobe: "25.04. Die Antinomien (1895-1902). Controversies that had been smoldering before 1900 broke out into open fire when the paradoxes and the consistency problem added fuel. (Morris Kline) Cantor entdeckte seine erste bereits 1895; einen dringlichen Status erhielten sie erst  mit Russells lückenloser Deduktion einer von ihnen aus Freges fünftem Grundgesetz der Arithmetik im Jahre 1902: die  logisch-mathematischen Antinomien. Es ist Ziel der Sitzung eine terminologische Unterscheidung zwischen Paradoxien und Antinomien vorzunehmen, die ?Russellsche Antinomie? herzuleiten, sowie die Frage zu beantworten, was Gründe für diese Inkonsistenz sein können. Dafür werden wir auf die letzte Sitzung zurückgreifen und die entscheidende Rolle des uneingeschränkten Komprehensionsprinzips von Cantor untersuchen.
Textgrundlage: Christian Thiel: Antinomien und Paradoxien, in: ders.: Philosophie und Mathematik,  S.315-329*. Referatsliteratur: Christian Thiel: Imprädikative Verfahren; in: ders.: Grundlagenkrise und Grundlagenstreit, S.130-156*
Weiterführende Literatur: Bertrand Russell: The Contradiction, in: ders.: The Principles of Mathematics (Chapter X); Adolf Fraenkel: Die Antinomien der Mengenlehre, in: ders.: Einleitung in die Mengenlehre,  S.209-220 (§13); Bertrand Russell: Letter to Frege, in: Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel, S.124-125; Gottlob Frege: Letter to Russell, in: Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel, S.126-128; Hao Wang: The concept of set, in: ders.: From Mathematics to Philosophy, S.181-223; Wilhelm Essler/ Elke Brendel: Die ontologischen Antinomien, in: dies.: Logik II, S.281-306; Joseph Warren Dauben: The Paradoxes and the Problems of Post-Cantorian Set Theory, in: ders.: Georg Cantor, S.240-270; Fraenkel/ Bar-Hillel/ Levy: The Antinomies, in: dies.: Foundations of Set Theory, S.1-14; Thoralf Skolem: Bemerkungen zum Komprehensionsaxiom, in: ders.: Selected Works in Logic, S.615-631."

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