Internet Publikation  für Allgemeine und Integrative Psychotherapie
(ISSN 1430-6972)
IP-GIPT DAS=16.10.2002 Internet-Erstausgabe, letzte Änderung 17.9.12
Impressum: Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
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Willkommen in unserer Internet-Publikation für Allgemeine und Integrtaive Psychotherapie, Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden, Bereich Faktorenanalyse und hier speziell:

Screetest:  Dubios. Falsch. Unsinn.
Zur Kritik der Faktorenanalyse.

von Rudolf Sponsel, Erlangen

Wie stellt man fest, wie viele Faktoren einen Variablensatz konstituieren, bzw. auf wie viele Faktoren ein Variablensatz zurückgeführt werden kann? Diese Frage ist mathematisch völlig klar und einfach zu beantworten. Doch die FaktorenanalytikerInnen (Literatur) haben es verstanden, hierzu ein beträchtlich numerologisch- szientistisches Gespenst zu entfachen, allen voran - neben Kaisers unsinnigem Eigenwert < 1 Kriterium - R. B. Cattell (1966) mit seinem nicht nur dubiosen und falschen sondern sogar regelrecht unsinnigen "Screetest" wie im folgenden gezeigt wird. Der Screetest beruht auf der Anschauung und empirischen Beobachtung, daß die Eigenwerte einer Korrelationsmatrix häufig eine charakteristische Verlaufskurve beschreiben.

Häufiger charakteristischer Eigenwertverlauf von Korrelationsmatrizen
 
Aus mir nicht verständlichen und nachvollziehbaren Gründen hat sich bei FaktorenanalytikerInnen die wunschgeleitete Meinung herausgebildet, daß die Eigenwerte geringerer Ausprägung mit einem flachen Verlauf nach einem Knick vernachlässigt werden können, weil sie Fehler und zufällige Faktoren repräsentieren. Manche AutorInnen ziehen zur Begründung einen Analogieschluß heran, indem sie auf den Verlauf der Eigenwerte von zufällig normalverteilten Werten, die interkorreliert wurden, verweisen (z.B. Revenstorf 1980, S. 76; Holm 1976, S. 66-67).
Was Fehler für den Eigenwertverlauf wirklich bedeuten, finden Sie hier gründlich untersucht und dokumentiert.

Wie hängen Eigenwertbeträge mit Korrelationskoeffizienten zusammen, die aus normalverteilt zufällig gezogenen Werten gewonnen werden? Diese Frage stellte sich R. B. Cattell 1966 und er wählte 150 Rohdatensätze für 16 Variable. Ich habe diese Fallstudie wiederholt mit drei unterschiedlichen, zunehmenden Stichprobenumfängen und mit der Einheitsmatrix verglichen, obwohl man sich das Ergebnis auch denken und bei entsprechender mathematischer Ausbildung vermutlich auch beweisen kann:
 
Mit zunehmendem Stichprobenumfang nähert sich das Ergebnis der Einheitsmatrix und geht für n -> unendlich in diese über: alle Korrelationen werden 0 und es herrscht maximale lineare Unabhängigkeit in der - dann Einheits - Matrix. Alle Eigenwerte und die Determinante sind 1. Was Fehler für den Eigenwertverlauf wirklich bedeuten, finden Sie hier gründlich untersucht und dokumentiert.

Eigenwertverlauf beim Thurstone'schen Trapezoid(Zeichnung und Parameter)
 
Betrachtet man sich folgendes Beispiel, das Thurstone'sche Trapez, so gibt es in dieser Korrelationsmatrix 4 unabhängige Faktoren und 12 abgeleitet-abhängige Größen, wobei weder die Eigenwerte nach dem ersten Knick noch die nach dem zweiten Knick irgendetwas mit Zufall oder Fehler zu tun haben. Damit ist durch Beispiel (Modell- Bildung) bewiesen, daß die Scree-Test Analogie keine allgemeine Gültigkeit hat. 
Ja sogar das Gegenteil ist der Fall: je kleiner die Eigenwerte werden, ob sie nun "nahe"  beieinander liegen oder nicht, desto mehr und stärkere lineare Abhängigkeiten (Kollinearitäten) enthält die Korrelationsmatrix. 



Beispiele was herauskommt beim Screetest

In Revenstrof (1980, S.74) wird die Korrelationsmatrix der 16 Fragen aus dem Extraversionsfragebogen von Brengelmann mitgeteilt - Eigenwertverlauf siehe bitte unten. Leider findet Revenstorf kein einziges kritisches Wort zu den Problemen, die diese Korrelationsmatrix mit sich bringt. Ich habe dieser zwar interessanten, aber auch etwas dubiosen und fehlerhaft konstituierten Matrix in Sponsel 1994 zwei eigene Studien gewidmet: (7.3, 7.9) und aktuell neu "nachuntersucht". Nach dem Screetestkriterium ergibt sich eine 4-Faktorenlösung, die zwar immer zu einer positiv semidefiniten  Reproduktionsmatrix führt, wie jede Matrix, die man mit ihrer Transponierten multipliziert, aber die Reproduktionsmatrix (Kommunalitätsmatrix der 4-Faktorenlösung) zeigt erhebliche Pathologien und Widersprüche zu Regeln und Sätzen der Faktorenanalyse:




Literatur

Revenstorf, Dirk (1980). Faktorenanalyse. Stuttgart: Kohlhammer. S. 76


 



Holm, Kurt (1976). Die Befragung 3. München: Francke (UTB), S. 66-67.



 Wird im Laufe der Zeit fortgesetzt, ergänzt und erweitert
Reduktionssatz: Eine Korrelationsmatrix der Ordnung m kann auf so viele Faktoren reduziert werden, wie Eigenwerte "nahe" 0 sind. Sind r Eigenwerte "nahe" 0, so kann die m*m-Matrix auf m-r Faktoren reduziert werden. Die Faktorenmatrix hat dann - idealiter ohne Berücksichtigung der Rundungsfehler - den Rang m-r. Dann ist die ursprüngliche Korrelationsmatrix auch wieder aus der Faktorenmatrix F * F´ reproduzierbar einschließlich der Einsen in den Hauptdiagonalen.Was letztlich "nahe" 0 bedeutet, kann man durch die Maxima, die man an Unterschieden zwischen Originalmatrix und Reproduktionsmatrix zu tolerieren bereit ist, bestimmen. Ein absoluter Wert wie z.B. Kaisers Kriterium Eigenwertbetrag < 1  ist hier in aller Regel untauglich, weil die Eigenwertbeträge unmittelbar durch die Größe oder Ordnung der Matrix begrenzt werden und die Größe der Eigenwerte natürlich von der Größe (Ordnung) der Korrelationsmatrix abhängt. Sinnvoll ist ein prozentuales Kriterium, z.B. 1 oder  2  Prozent der Eigenwertsumme, bei 20 Variablen wären das z.B. Eigenwerte < 0,20.
Siehe bitte auch: Kalveram.
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Kapitel 7.11 in Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]
Aktueller Preis: http://ww.iec-verlag.de
Bd. 2.: Sponsel, R. (2005). Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen Ergänzungsband - Band II zu Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie.



Querverweise
Standort: Scree-Test.
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Was Fehler für den Eigenwertverlauf wirklich bedeuten, finden Sie hier gründlich untersucht und dokumentiert.
Ergebnisse Fehlerversuch zum Eigenwertverlauf * Überblick Kritik der Faktorenanalyse * Kommunalität *
Überblick Numerische instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie.
Überblick Wissenschaft in der IP-GIPT.


Zitierung
Sponsel, Rudolf  (DAS).  Screetest:  Dubios. Falsch. Unsinn. Zur Kritik der Faktorenanalyse.  IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/fa/scree.htm
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korrigiert:


Änderungen wird gelegentlich überarbeitet, ergänzt und vertieft * Anregungen und Kritik willkommen
07.09.12   Kleine Erg.
28.05.08   Was Fehler für den Eigenwertverlauf wirklich bedeuten, finden Sie hier gründlich untersucht und dokumentiert.