Internet Publikation für Allgemeine und Integrative Psychotherapie
IP-GIPT DAS=21.10.2002 Interneterstausgabe, letzte Änderung 09.06.6
Impressum: Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
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Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie, hier:

Kalverams Kritik der Faktorenanalyse und die positive Semidefinitheitsbedingung

Mitgeteilt von Rudolf Sponsel, Erlangen
 

Kalveram, K. T. (1970a). Über Faktorenanalyse. Kritik eines theoretischen Konzepts und seine mathematische Neuformulierung. Archiv für Psychologie, Bd. 122, S. 92-118

 
"Eine vorgegebene symmetrische Matrix Q besitzt genau dann (mindestens) eine reproduzierende Matrix, wenn die Ausgangsmatrix positiv semidefinit ist. Diese Tatsache wird so häufig in der Faktorenanalyse benutzt, daß hier auf einen Beweis verzichtet wird. Wenn also Q nicht positiv semidefinit ist, so existiert auch keine reproduzierende Matrix zu Q."

 
Anmerkung:
Kalveram unterscheidet noch nicht zwischen phänotypischen und genotypischen Korrelationsmatrizen. Aber er meint natürlich Matrizen, die aus dem Produkt-Moment-Kalkül stammen. Eine genotypische Korrelationsmatrix ist symmetrisch, enthält in der Hauptdiagonalen Einsen, Werte zwischen +1 und -1 und, das ist das Wichtigste, sie ist positiv semidefinit, enthält also keine negativen Eigenwerte. Phänotypische Korrelationsmatrizen sehen äußerlich aus wie genotypische Korrelationsmatrizen (symmetrisch, Hauptdiagonalen mit Einsen besetzt, Werte zwischen +1 und -1) müssen aber keine positiv semidefiniten Produkt-Moment-Korrelationsmatrizen sein, was bei der Eigenwertanalyse offenbar wird. Eine Produkt- Moment- Korrelationsmatrix repräsentiert so viele Relationen (lineare Abhängigkeiten) wie sie Eigenwerte 'nahe' 0 enthält. Um genau diese Anzahl ist sie auch auf Faktoren zurückführbar, wenn aus den Faktoren die ursprüngliche Matrix wieder repoduzierbar sein soll. Nach Hain (1994, Kap. 6, S. 20, Satz 3.4) gilt die Isometrie zwischen den zentrierten normalisierten Rohwerten und der oberen Cholesky Dreiecksmatrix. Daraus folgt: Wer die  Korrelationsmatrix verändert, verändert die Rohdaten. Darum kümmern sich die FaktorenenalytikerInnen im allgemeinen nicht, weil sie statt echte Gesetzmäßigkeiten, d.h. Eigenwerte 'nahe' 0 zu suchen, davon besessen sind, Variable zu reduzieren, gewöhnlich um den Preis der Rohdatenveränderung. D.h. die Faktorenmatrix repräsentiert gewöhnlich nicht mehr die Rohdaten. Bei strenger Betrachtung kann man auch, wenn es mit Wissen und Absicht geschieht, von Datenfälschung sprechen. Enthält die Matrix allerdings Relationen (lineare Abhängigkeiten), so verändert eine Reduktion der Matrix auf die Faktoren diese nicht. In empirischen Fällen wird man aber selten Eigenwerte mit 0, nur 'nahe' 0 erhalten, so daß die Gretchenfrage einer mathematisch begründeten und verantwortlichen Faktorenanalyse darauf hinausläuft, was bei welcher Ordnung - und damit der gegebenen Spur und Eigenwertsumme - der Matrix ein Eigenwert 'nahe' 0 sein soll. Ich schätze 1-2% der Ordnung, Spur oder Eigenwertsumme. Kaiser 'Kriterium' (Eigenwerte < 1) oder gar der Screetest sind jedenfalls völlig ungeeignet. 

Anmerkung: Die Kritik von Haagen & Oberhofer (1977) ist nur teilweise (S. 193: n>=3p), aber nicht in der Hauptsache berechtigt. Weitere kritische Arbeiten von Kalveram zur Faktorenanalyse hier (Abstracts).



Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]
Aktueller Preis: http://ww.iec-verlag.de
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Sponsel, Rudolf (2005). Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen. Ergänzungsband - Band II zu "Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie -  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology - Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie". Erlangen: IEC-Verlag. ISSN-0944-5072  * ISBN 3-923389-13-2. WIRE-O-Ringbindung DIN A4.

Änderungen Kleinere Änderungen werden nicht extra ausgewiesen; wird gelegentlich überarbeitet und ergänzt.
09.06.06    Nachtrag Anmerkung zur Kritik durch Haagen & Oberhofer.
31.10.05    Nachtrag Sponsel (2005).  Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen. * Layoutarbeiten.



Querverweise:
Einführung und Überblick. Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse
Überblicks- und Verteilerseite: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie
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Suchen in der IP-GIPT, z.B. mit Hilfe von "google": <suchbegriff> site:www.sgipt.org
z.B. Faktorenanalyse site:www.sgipt.org
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Zitierung
Sponsel, Rudolf  (DAS). Kalverams Kritik der Faktorenanalyse und die positive Semidefinitheitsbedingung. IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/fa/kalveram.htm
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