Multiple-Factor Analysis
by L.L. Thurstone (1947, 51957).
Multiple-Factor Analysis.
A Development and Expansion of The
Vectors of Mind.
Chicago: The University of Chicago Press.
[aufbereitet für das Internet durch Rudolf Sponsel,
Erlangen
mit einem kritischen Kommentar zum sog. "Kommunalitätsproblem"]
| II. FUNDAMENTAL EQUATIONS ...................................................
Reference Abilities..................................................................................... The Factor Matrix and the Population Matrix .......................................... Interpretation of the Test Coeffcients .................................................... Common Factors and Unique Factors ....................................................... (15) Communality of test j ........................................................................ Specificity of test j .................................................................................... Uniqueness of test j .................................................................................. The Intercorrelations ............................................................................... The Reliability Coefficient ..................................................................... Summary of Terminology and Notation .............................................. |
68
68 71 71 73 74 75 75 76 83 85 |
p.
71: The Factor matrix and the population matrix
Interpretation of the test coefficients
p. 73: Common factors and unique factors
p. 74: (15) Communality of test j
p.
75: specificity of test j
uniqueness
of test j
p. 76: complete factor matrix * reduced factorial matrix * The intercorrelations
p. 83: The reliability coefficient
p. 85: Summary of terminology and notation.
End of Chapter 2
Anmerkungen und Endnoten:
1) GIPT= General and Integrative Psychotherapy, internationale Bezeichnung für Allgemeine und Integrative Psychotherapie.
___
Communality. Ein Hauptziel der Faktorenanalytiker war immer Datenreduktion und damit war ihre traditionelle Fragestellung: wie kann ein Variablensatz von m Variablen auf f < m Faktoren reduziert werden? Das geht exakt nur, wenn eine Korrelationsmatrix der Ordnung m einen Rang Rg < m hat, was empirisch ganz selten vorkommt (Ausnahme: Ökonomie > Belsley et al.), wenn keine Artefakte vorliegen (z.B. Summenwert als linear abhängige Variable in die Korrelationsmatrix einbezogen oder Anzahl der Variablen größer als die Anzahl der ProbandInnen). In diesem empirisch selten vorkommenden Fall wäre dann f = Rg. Von zentraler Bedeutung waren daher in der Faktorenanalyse immer, ob und wie Konstruktionen möglich sind, die eine Korrelationsmatrix C vom Rg=m aus f<m Faktoren ermöglichen. Aus heutiger Sicht (2006) ist die Frage, ob und wie sehr sich eine Korrelationsmatrix im Rang reduzieren läßt, einfach zu beantworten: Eine Korrelationsmatrix der Ordnung m kann genau um k Ränge auf f = (m-k)>= 1 reduziert werden, wie sie Eigenwerte "nahe 0" aufweist (praktisch Eigenwerte < 0,20). Rangreduktion bei größeren Eigenwerten führt zu veränderten Datensätzen, d.h. eine Rangreduktion würde um den Preis erkauft, dass ganz andere Daten "repräsentiert" würden (Isometriesatz Hain 1994). Eine kuriose Variante in der Geschichte der Faktorenanalyse kam mit der Idee der "Kommunalität" auf, die zwar auf einer mathematischen Möglichkeit beruht, die aber nicht mehr interpretierbar ist. Das sog. Kommunalitätsproblem ist daher ein Scheinproblem, weil die Sachverhalte mathematisch klar und eindeutig sind: eine Korrelationsmatrix ist in dem Umfang approximativ rangreduzierbar als sie Eigenwerte nahe 0 enthält, sonst gibt es keine Lösung. Die Methode der Wahl ist mit den heutigen leistungsfähigen Computern und Programmen eine exakte Hauptkomponentenanalyse mit anschließender Varimax-Rotation zur vereinfachten und klaren Interpretation. Im allgemeinen führen Hauptdiagonaleingriffe bei der Korrelationsmatrix auch zum Verlust der semipositiven Definitheit (kein Eigenwert negativ) und damit eines notwendigen und wesentlichen Merkmals einer Korrelationsmatrix. Indefinite Matrizen sind keine Korrelationsmatrizen und repräsentieren imaginäre Datensätze, was nicht zulässig ist und sogar Datenfälschung bedeuten kann. Die Idee der Kommunalität gehört mit zu den seltsamsten und fragwürdigsten der Faktorenanalyse. Sie ist wohl aus der subjektiv empfundenen Not und Verlegenheit entstanden, keine angemessenen Datensätze für den damals vorherrschenden Daten-Reduktionsdrang erzeugen zu können, so dass man den Korrelationsmatrizen mit gewalttätigen, destruktiv-zerstörerischen Methoden zu Leibe rückte. Man erkannte damals gar nicht den extrem hohen Wert, den Fast-Kollinearität, wenn sie denn echt und kein Artefakt ist, für die Wissenschaft hat. So beschloß man vielfach Fast-Kollinearität, ohne dass dieser Beschluß durch kleine Eigenwerte <= 0,20 ("nahe 0") fundiert und begründet gewesen wäre.
___
Verlust semipositiver Definitheit durch Kommunalitätenmanipulationen. Nach einem Beispiel von Harmann, Harry H. (31970). Modern Factor Analysis. Chicago: The University of Chicago Press. Table 5.3 (p. 80) und 5.4 (p. 81): 8 physikalische Variablen. p. 81 zitiert die Kommunalitäten. Für einen Vergleich rechnen wir (1) die Matrix mit 1 in der Hauptdiagonale und (2) mit den angegebenen Kommunalitäten (p. 81) in der Hauptdiagonale. Zur besseren Vergleichbarkeit, werden die verschiedenen Auswertungen Eigenwerte, Hauptkomponentenanalyse und Varimax Rotation einander gegenübergestellt.
Die Ausgangsmatrizen und ihre Eigenwerte
1.0000
0.8460 0.8050 0.8590
0.4730 0.3980 0.3010 0.3820
0.8460 1.0000
0.8810 0.8260 0.3760
0.3260 0.2770 0.4150
0.8050 0.8810 1.0000
0.8010 0.3800 0.3190
0.2370 0.3450
0.8590 0.8260
0.8010 1.0000 0.4360
0.3290 0.3270 0.3650
0.4730 0.3760
0.3800 0.4360 1.0000
0.7620 0.7300 0.6290
0.3980 0.3260
0.3190 0.3290 0.7620 1.0000
0.5830 0.5770
0.3010 0.2770
0.2370 0.3270 0.7300
0.5830 1.0000 0.5390
0.3820 0.4150
0.3450 0.3650 0.6290
0.5770 0.5390 1.0000
Ausgangsmatrix mit den Kommunalitäten (p. 81) in der Hauptdiagonalen
0.8420 0.8460
0.8050 0.8590 0.4730
0.3980 0.3010 0.3820
0.8460 0.8810
0.8810 0.8260 0.3760
0.3260 0.2770 0.4150
0.8050 0.8810
0.8170 0.8010 0.3800
0.3190 0.2370 0.3450
0.8590 0.8260
0.8010 0.8150 0.4360
0.3290 0.3270 0.3650
0.4730 0.3760
0.3800 0.4360 0.8720
0.7620 0.7300 0.6290
0.3980 0.3260
0.3190 0.3290 0.7620 0.6470
0.5830 0.5770
0.3010 0.2770
0.2370 0.3270 0.7300
0.5830 0.5840 0.5390
0.3820 0.4150
0.3450 0.3650 0.6290
0.5770 0.5390 0.5020
Eigenvektoren mit Hauptdiagonale 1
0.3976 -0.2797 -0.1014
-0.1075 -0.4084 0.1519 -0.6360
0.3841
0.3893 -0.3314
0.1131 0.0681 0.3409
0.0721 -0.2785 -0.7226
0.3762 -0.3446
0.0153 -0.0470 0.5412 -0.3924
0.2419 0.4816
0.3884 -0.2971 -0.1450
0.1238 -0.4586 0.2509 0.6623
-0.1121
0.3507 0.3942
-0.2133 -0.1145 -0.2957 -0.7201
-0.0263 -0.2373
0.3119 0.4007
-0.0732 -0.7128 0.2195
0.4098 0.1120 0.0069
0.2855 0.4359
-0.4209 0.6295 0.2572
0.2583 -0.0802 0.1254
0.3102 0.3144
0.8530 0.2209 -0.1096 0.0407
0.0330 0.1169
Eigenwerte mit Hauptdiagonale 1 Die Korrelationsmatrix
ist - wie es sich gehört - (semi) positiv definit
4.6729
0 0
0 0
0 0
0
0
1.7710 0
0 0
0 0
0
0
0 0.4810
0 0
0 0
0
0
0 0 0.4214
0 0
0 0
0
0 0
0 0.2332
0 0
0
0
0 0
0 0 0.1867
0 0
0
0 0
0 0
0 0.1373 0
0
0 0
0 0
0 0 0.0965
Faktorladungen mit Hauptdiagonale 1: F = V * SQRT(D)
0.8594 -0.3723 -0.0703
-0.0698 -0.1972 0.0656 -0.2357
0.1193
0.8416 -0.4410
0.0785 0.0442 0.1646
0.0312 -0.1032 -0.2244
0.8131 -0.4586
0.0106 -0.0305 0.2614 -0.1695
0.0896 0.1496
0.8396 -0.3953 -0.1006
0.0804 -0.2215 0.1084 0.2454
-0.0348
0.7580 0.5247
-0.1479 -0.0743 -0.1428 -0.3111
-0.0097 -0.0737
0.6742 0.5333
-0.0508 -0.4627 0.1060
0.1771 0.0415 0.0021
0.6172 0.5801
-0.2919 0.4087 0.1242
0.1116 -0.0297 0.0389
0.6706 0.4185
0.5916 0.1434 -0.0529 0.0176
0.0122 0.0363
Varimaxrotierte Faktorenladungen mit Hauptdiagonale 1:
0.8646 0.1022
0.1162 -0.1767 -0.4150 -0.1398
0.0734 -0.0107
0.9391 0.1007
0.1868 -0.1007 0.0444 -0.0300
-0.0551 -0.2389
0.9411 0.0666
0.1110 -0.1181 0.1262 -0.0848
-0.0863 0.2302
0.8559 0.1547
0.1103 -0.0963 -0.0599 -0.1074
0.4548 -0.0034
0.2281 0.4526
0.2917 -0.4673 -0.0423 -0.6602
0.0443 0.0034
0.1693 0.2728
0.2476 -0.8994 -0.0296 -0.1594
0.0199 -0.0014
0.1211 0.9195
0.2239 -0.2571 -0.0184 -0.1493
0.0318 -0.0045
0.2056 0.2454
0.9022 -0.2555 -0.0215 -0.1309
0.0255 -0.0058
Vektoren der Matrix mit in die Hauptdiagonale eingesetzten Kommunalitäten
0.4063 -0.2648 -0.3888
0.3040 0.4127 0.3556 -0.1150
-0.4596
0.4015 -0.3330
0.4711 -0.1558 0.0435 0.4442
-0.2210 0.4833
0.3829 -0.3321
0.2535 0.1544 -0.6375 -0.3016
0.0307 -0.3958
0.3947 -0.2802 -0.4440
-0.3190 0.1567 -0.5149
0.2106 0.3645
0.3544 0.4604
-0.3088 0.1194 -0.4256
0.4021 0.4043 0.2159
0.2995 0.4031
0.1271 0.5873 0.1653 -0.3846
-0.3798 0.2593
0.2697 0.4156
-0.0917 -0.6088 -0.0894 -0.0068
-0.5393 -0.2768
0.2886 0.2881
0.4956 -0.1671 0.4247 -0.1025
0.5423 -0.2743
Eigenwerte der Matrix mit in die Hauptdiagonale eingesetzten
Kommunalitäten
4.4484 0
0 0
0 0
0 0
0 1.5083
0 0
0 0
0 0
0
0 0.1026
0 0
0 0
0
0
0 0 0.0581
0 0
0 0
0
0 0
0 0.0133
0 0
0
0
0 0
0 0 -0.0393
! 0
0
0
0 0
0 0
0 -0.0581 ! 0
0
0 0
0 0
0 0
-0.0732 !
Die Anwendung
der Formel F=V*SQRT (D) gelingt nicht mehr im Reellen
Columns 1 through 4
0.8569 -0.3253 -0.1245
0.0733
0.8469 -0.4090 0.1509
-0.0376
0.8077 -0.4079 0.0812
0.0372
0.8324 -0.3441 -0.1422
-0.0769
0.7474 0.5654 -0.0989
0.0288
0.6316 0.4951
0.0407 0.1416
0.5688 0.5103 -0.0294
-0.1468
0.6088 0.3538
0.1587 -0.0403
Columns 5 through 8
0.0476 0 + 0.0705i
0 - 0.0277i 0 - 0.1244i
0.0050 0 + 0.0881i
0 - 0.0533i 0 + 0.1308i
-0.0735 0 - 0.0598i
0 + 0.0074i 0 - 0.1071i
0.0181 0 - 0.1021i
0 + 0.0508i 0 + 0.0986i
-0.0491 0 + 0.0798i
0 + 0.0975i 0 + 0.0584i
0.0191 0 - 0.0763i
0 - 0.0915i 0 + 0.0702i
-0.0103 0 - 0.0014i
0 - 0.1300i 0 - 0.0749i
0.0490 0 - 0.0203i
0 + 0.1307i 0 - 0.0742i
Entsprechend
entgleist auch die Varimax-Rotation
Columns 1 through 4
0.8759
0.2726
-0.0979
0.0552
0.9145
0.2094
0.1596
0.0045
0.8852
0.1831
0.0482
0.0516
0.8690
0.2441
-0.0866
-0.0978
0.2380
0.9038
-0.1327
0.0072
0.1873
0.7791
-0.0088
0.1546
0.1302
0.7540
-0.0100
-0.1441
0.2542
0.6597
0.1580
0.0081
Columns 5 through 8
0.0949
0 + 0.1310i 0 - 0.0539i
0 - 0.0338i
-0.0557
0 - 0.0004i 0 + 0.0611i
0 + 0.1548i
-0.1001
0 + 0.0127i 0 - 0.0725i
0 - 0.0984i
0.0774
0 - 0.1434i 0 + 0.0455i
0 - 0.0106i
0.0041
0 + 0.0248i 0 + 0.1364i
0 + 0.0075i
0.0061
0 - 0.0967i 0 - 0.0664i
0 + 0.0733i
0.0124
0 + 0.0506i 0 - 0.1369i
0 + 0.0348i
-0.0134
0 + 0.0179i 0 + 0.0542i
0 - 0.1406i
___
Summary
of terminology and notation. Genau diese Gleichungen - mit dem kleinen
typographischen Unterschied, dass Harmann uniqueness mit d2
statt wie Thurstone mit u2 bezeichnet - tauchen bei Harmann,
1970, p. 19, in (2.20) auf, ohne dass Thurstone explizit genannt wird,
wobei aber zu berücksichtigen ist, daß Harman zusammen mit Holzinger
1941, also sechs Jahre vor Thurstone, ihr grundlegendes Werk zur Faktorenanalyse
veröffentlichten (siehe).
___
Varimax-Rotation. Sie hat den
großen Vorteil, dass die Faktoren(ladungen) zumindest in der Hauptsache
gut interpretierbar sind. Aufpassen muss man allerdings bei Faktoren, die
nur wenig zur Varianz beitragen. Sie werden durch den Varimax innewohnenden
Algorithmus unangemessen aufgebläht, so dass man irrtümlich z.B.
(oBdA) eine 3-Faktorenlösung vermutet, wo tatsächlich nur eine
2-Faktorenlösung gegeben ist. Dies wird in einer eigenen
Arbeit noch näher ausgeführt und belegt.
___
mathematische
Möglichkeit der "Rangreduktion" durch Hauptdiagonalmanipulation:
___
Auswirkungen der Fehleingabe
0.3820 für cor2_8 statt richtig = 0.4150 auf die Eigenwerte
und Eigenvektoren:
Eigenvektoren mit dem fehlerhaft eingegebenen Wert c2_8:
-0.4065 -0.2627 0.3672
-0.3352 0.3342 0.3346
0.2610 -0.4953
-0.3996 -0.3371 -0.4054
0.1601 -0.0316 0.4790 -0.0977
0.3949
-0.3831 -0.3301 -0.3074
-0.1086 -0.5170 -0.3315 0.0270
-0.3591
-0.3949 -0.2780 0.4479
0.2945 0.1866 -0.4941 -0.2660
0.4410
-0.3549 0.4609
0.3189 -0.1529 -0.5135 0.4021
0.4048 0.2333
-0.2999 0.4034 -0.1655
-0.5766 0.1476 -0.3401 -0.5959
0.2481
-0.2701 0.4157
0.1346 0.6000 -0.0609 0.0008
-0.2926 -0.3429
-0.2890 0.2884 -0.5084
0.2182 0.5441 -0.1651 0.4963
-0.2042
Eigenwerte mit dem fehlerhaft eingegebenen Wert bei c2_8:
4.4446
0 0
0 0
0 0
0
0
1.5114 0
0 0
0 0
0
0
0 0.0946
0 0
0 0
0
0
0 0 0.0570
0 0
0 0
0
0 0
0 0.0125
0 0
0
0
0 0
0 0 -0.0369
0 0
0
0 0
0 0
0 -0.0533 0
0
0 0
0 0
0 0 -0.0699
Unterschiede und Auswirkungen des Eingabefehlers bei c2_8:
Differenzen bei den Eigenwerten: Fehlerhafte
- Richtige
-0.8128 0.0022
0.7559 -0.6393 -0.0785 -0.0210
0.3760 -0.0357
-0.8011 -0.0041 -0.8766
0.3158 -0.0750 0.0348 0.1233
-0.0884
-0.7661 0.0020 -0.5608
-0.2630 0.1205 -0.0300 -0.0037
0.0367
-0.7896 0.0022
0.8918 0.6135 0.0298
0.0208 -0.4766 0.0765
-0.7092 0.0005 0.6277
-0.2723 -0.0879 0.0000
0.0005 0.0173
-0.5993 0.0003 -0.2926
-1.1639 -0.0177 0.0446 -0.2161
-0.0113
-0.5398 0.0001
0.2264 1.2088 0.0285
0.0076 0.2468 -0.0662
-0.5776 0.0003 -1.0040
0.3853 0.1194 -0.0627 -0.0460
0.0701
Differenzen bei den Eigenwerten: Fehlerhafte - Richtige
-0.0038
0 0
0 0
0 0
0
0
0.0032 0
0 0
0 0
0
0
0 -0.0079 0
0 0
0 0
0
0 0 -0.0011
0 0
0 0
0
0 0
0 -0.0008 0
0 0
0
0 0
0 0 0.0024
0 0
0
0 0
0 0
0 0.0048 0
0
0 0
0 0
0 0 0.0033
Aufgrund der beachtlichen Unterschiede bei den Eigenvektoren bietet sich eine weitere Prüfung der Auswirkungen an, indem die varimaxrotierten Faktoren mit und ohne Eingabefehler verglichen werden:
Varimaxrotierte Faktoren mit dem fehlerhaften Eingabewert:
Hinweis: Da die Vorzeichen für die Interpretation der Faktorenladungen
keine Rolle spielen, sind nur die Betragsunterschiede von Interesse.
Columns 1 through 4
-0.8747 0.2744
0.0895 -0.0495
-0.9154 0.2001
-0.1277 -0.0077
-0.8839 0.1840
-0.0569 -0.0538
-0.8677 0.2449
0.0697 0.1021
-0.2388 0.9053
0.1354 0.0001
-0.1881 0.7810
0.0080 -0.1484
-0.1312 0.7538
0.0068 0.1486
-0.2549 0.6599
-0.1641 -0.0060
Columns 5 through 8
0.0922 0 - 0.0166i
0 + 0.1491i 0 - 0.0490i
-0.0647 0 + 0.1057i
0 - 0.0194i 0 + 0.0913i
-0.0939 0 - 0.0722i
0 + 0.0221i 0 - 0.0861i
0.0789 0 - 0.0089i
0 - 0.1595i 0 + 0.0293i
0.0072 0 + 0.0136i
0 + 0.0585i 0 + 0.1221i
0.0076 0 + 0.0498i
0 - 0.1511i 0 - 0.0467i
0.0114 0 + 0.0227i
0 + 0.0191i 0 - 0.1091i
-0.0175 0 - 0.1065i
0 + 0.0737i 0 + 0.0169i
Varimaxrotierte Faktoren mit dem richtigen Eingabewert:
Columns 1 through 4
0.8759 0.2726
-0.0979 0.0552
0.9145 0.2094
0.1596 0.0045
0.8852 0.1831
0.0482 0.0516
0.8690 0.2441
-0.0866 -0.0978
0.2380 0.9038
-0.1327 0.0072
0.1873 0.7791
-0.0088 0.1546
0.1302 0.7540
-0.0100 -0.1441
0.2542 0.6597
0.1580 0.0081
Columns 5 through 8
0.0949 0 + 0.1310i
0 - 0.0539i 0 - 0.0338i
-0.0557 0 - 0.0004i
0 + 0.0611i 0 + 0.1548i
-0.1001 0 + 0.0127i
0 - 0.0725i 0 - 0.0984i
0.0774 0 - 0.1434i
0 + 0.0455i 0 - 0.0106i
0.0041 0 + 0.0248i
0 + 0.1364i 0 + 0.0075i
0.0061 0 - 0.0967i
0 - 0.0664i 0 + 0.0733i
0.0124 0 + 0.0506i
0 - 0.1369i 0 + 0.0348i
-0.0134 0 + 0.0179i
0 + 0.0542i 0 - 0.1406i
Differenzen in den Beträgen bei den varimaxrotierten
Faktoren:
-0.0012 0.0017 -0.0084
-0.0057 -0.0028 -0.1144 0.0953
0.0152
0.0009 -0.0092 -0.0319
0.0032 0.0090 0.1053
-0.0417 -0.0636
-0.0013 0.0010
0.0086 0.0021 -0.0062 0.0595
-0.0504 -0.0123
-0.0013 0.0008 -0.0169
0.0043 0.0015 -0.1345 0.1140
0.0187
0.0009 0.0014
0.0027 -0.0071 0.0031 -0.0112
-0.0779 0.1146
0.0008 0.0019
-0.0008 -0.0062 0.0015 -0.0469
0.0848 -0.0266
0.0010 -0.0002 -0.0032
0.0045 -0.0010 -0.0279 -0.1178
0.0743
0.0008 0.0002
0.0061 -0.0021 0.0041 0.0886
0.0195 -0.1237
Alle Beträge >= 0.05 fett hervorgehoben.
___
Änderungen wird gelegentlich überarbeitet, ergänzt und vertieft * Anregungen und Kritik willkommen
23.06.06 Ergänzender Hinweis zur Prioritätenfrage bei den Grundgleichungen.
17.05.06 Fehleintrag in der "Korrelations"-Matrix mit den Kommunalitäten korrigiert: Falsch: C(2,8)=0.3820, Richtig: C(2,8)=0.4150. Die Auswirkungen auf die Vektoren und Eigenwerte sind doch erstaunlich merklich, wenn auch in der Hauptsache für die Folgerungen und Interpretationen nicht entscheidend.
29.04.06 Überarbeitung Anmerkung "communality".
Querverweise
Standort: Multiple-Factor Analysis Chapter 2. : Fundamental Equations.
Kurzbiographie L.L. Thurstone.
Kommunalität. Zur Geschichte und Kritik einer Idee und ihrer fragwürdigen Operationalisierung. Von der multiplen Paradoxie wie willkürliche Definitionen unlösbare Scheinprobleme schaffen und lösen.
Überblick der Dokumentationen zur Handhabung der Faktorenanalyse
Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse
Was für ein Typ Matrix entsteht durch Faktorenanalysen?
Überblick Numerisch Instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie
Zahlenmystik und numerologische Esoterik in Statistik und Testtheorie
Überblick Arbeiten zur Definitionslehre, Methodologie, Meßproblematik, Statistik und Wissenschaftstheorie
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Zitierung
Thurstone, L.L. (DAS). Multiple-Factor Analysis Chapter 2. : Fundamental Equations. IP-GIPT. Erlangen: https://www.sgipt.org/wisms/fa/thurs/mfa47_2.htm
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