SGIPT
Internet Publikation  für Allgemeine und Integrative Psychotherapie  IP-GIPT DAS=11.10.2002

Anfang _Thurstone-Body Types_ Überblick  _ Relativ Aktuelles  _ Rel. Beständiges  _ Titelblatt  _ Konzept  Archiv  _ Region _ Service iec-verlag _Mail: _ sekretariat@sgipt.org  _ Zitierung & Copyright__
_Wichtige Hinweise zu Links und Empfehlungen
Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie, hier falsch angewendete Faktorenanalyse:
THURSTONE, L.L. (USA: The University of Chicago) . "Factor Analysis And Body Types", Psychometrika 11,1,1946, p.19 Table 1

von Rudolf Sponsel, Erlangen
Internet-Erstausgabe 11.10.2002, letztes Update TT.MM.JJ
Abstract/ Zusammenfassung 1 * 2 * 3

Analyse der Original-Korrelationsmatrix, aus 4 Faktoren rückgerechnete Matrix und deren Matrix-Analyse


Abstract/ Zusammenfassung 1: Die Korrelations- Matrix ist trotz relativ kleiner Determinante für die Ordnung 12 positiv definit und numerisch stabil. Das Verhältnis größter zu kleinstem Eigenwert ist 47,6 (Condit, Konditionszahl). Nach einem 2,5% Kriterium können drei Eigenwerte als nahe bei 0 betrachtet werden (ab dem 10.). Demnach wäre die Matrix vom Rang 12 auf Rang 9 reduzierbar, aber nicht, wie von Thurstone gewünscht, auf vier, wie  gezeigt wird. Erläuterungen zur Matrixanalyse: Numerische Laien hier  * Professionell Interessierte hier * Überblick Faktorenanalyse 

 Samp  Or  MD  NumS  Condit  Determinant  HaInRatio  R_OutIn  K_Norm   C_Norm
 -1    12  -1   +?   47.6    .003621848   .0006565     5.4    .076(0)  .415(0)

**********    Summary of standard correlation matrix analysis   ***********
File = THUR12.K12    N-order= 12  N-sample=-1    Rank= 12  Missing data = ?
Positiv Definit=Cholesky successful________= Yes with  0 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    4.2843805507689885
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____=    .090014885276041116
CON: Condition number HEVA/LEVA___________~=    47.596356287412212
DET: Determinant original matrix___________=    3.621848093722074D-3
HAC: HADAMARD condition number_____________=    4.2708147156668199D-5
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=    7.6095070636319752D-5
D_I: Determinant Inverse absolute value____=    276
HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<=    420533
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=    6.565525527322689D-4
Highest inverse positive diagonal value____=    5.809573713
  thus multiple r(1.rest)_________________=     .9098738
There are no negative inverse diagonal values.
 Maximum range (upp-low) multip-r( 10.rest)_=   .029
LES: Numerical stability analysis:
 Ratio maximum range output / input _______=    5.3588472048015444
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    .076271 (<-> Angle = 4.37 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    0
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ =    .414885 (<-> Angle = 24.51 )
Number of Ratios Cholesky RN/ON < .1 _____ =    0

 Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min    m|c|    s|c|   N_comp    M-S   S-S
  144   47.3     5.13    1      -.04   .268    .193   2145      .216  .169

 class boundaries and distribution of the correlation-coefficients
 -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
    0    0    0    0    8    46   50   18   8    14

Original input data with  2-digit-accuracy and calculated with
 2-digit-accuracy (for control here the analyzed original matrix):

 1    .72  .24  .27  .81  .21  .06  .25  .04  .09  .69  .41
 .72  1    .23  .23  .51  .29  .11  .16  .02  .16  .55  .15
 .24  .23  1    .34  .41  .48  .31  .19  .06  .06  .3   .28
 .27  .23  .34  1    .39  .53  .47  .26  .04 -.04  .35  .42
 .81  .51  .41  .39  1    .33  .12  .22  .15  .11  .74  .51
 .21  .29  .48  .53  .33  1    .36  .33  .13 -.02  .3   .37
 .06  .11  .31  .47  .12  .36  1    .1   .04 -.03  .1   .2
 .25  .16  .19  .26  .22  .33  .1   1    .32  .32  .22  .16
 .04  .02  .06  .04  .15  .13  .04  .32  1    .35  .23 -.01
 .09  .16  .06 -.04  .11 -.02 -.03  .32  .35  1    .11  .03
 .69  .55  .3   .35  .74  .3   .1   .22  .23  .11  1    .63
 .41  .15  .28  .42  .51  .37  .2   .16 -.01  .03  .63  1

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  4.28438   1         2.  1.66842   .694        3.  1.533    .9673
  4.  .88929    .9198     5.  .72638    .514        6.  .72065   .7675
  7.  .681      .8546     8.  .501      .9134       9.  .4254    .9173
  10. .29826    .8705     11. .18221    .6192       12. .09001   .6402
 Cholesky decomposition successful, thus the matrix is (semi) positive definit.

 Analyzed: 03/21/94 16:10:42  PRG version 15/03/94 MA_BAT6.BAS (241s)


Die vier Faktoren der Body Type Korrelationsmatrix

THURSTONE, L.L. (USA: The University of Chicago. "Factor Analysis And Body Types", Psychometrika 11,1,1946, p.19 Table 2

Auswertung vom 05.04.94 06:55:34: Faktorenmatrix A
 .72  -.55  -.15  -.11
 .6   -.34  -.25  -.48
 .51   .17   .22  -.06
 .59   .21   .36  -.11
 .79  -.35   .02   .03
 .6    .32   .24  -.16
 .34   .34   .29  -.26
 .45   .31  -.3    .04
 .28   .29  -.36   .32
 .23   .16  -.49   .19
 .78  -.41   .01   .23
 .58  -.15   .38   .31

Transponierte der Faktoren B (A')
 .72   .6    .51   .59   .79   .6    .34   .45   .28   .23   .78   .58
-.55  -.34   .17   .21  -.35   .32   .34   .31   .29   .16  -.41  -.15
-.15  -.25   .22   .36   .02   .24   .29  -.3   -.36  -.49   .01   .38
-.11  -.48  -.06  -.11   .03  -.16  -.26   .04   .32   .19   .23   .31

Produkt-Matrix A * B mit Determinante= -2.0226674027703739D-157
 .86   .71   .25   .27   .76   .24   .04   .19   .06   .13   .76   .41
 .71   .77   .22   .25   .57   .27   .14   .22   .01   .11   .49   .16
 .25   .22   .34   .42   .35   .42   .31   .21   .09   .03   .32   .34
 .27   .25   .42   .53   .4    .53   .41   .22   .06  -.03   .35   .41
 .76   .57   .35   .40  .75   .36   .15   .24   .12   .12   .77   .53
 .24   .27   .42   .53   .36   .55   .42   .29   .12   .04   .30   .34
 .04   .14   .31   .41   .15   .42   .38   .16   .01  -.06   .07   .18
 .19   .22   .21   .22   .24   .29   .16   .39   .34   .31   .23   .11
 .06   .01   .09   .06   .12   .12   .01   .34   .39   .35   .17   .08
 .13   .11   .03  -.03   .12   .04  -.06   .31   .35  .35   .15  -.02
 .76   .49   .32   .35   .77   .30   .07   .23   .17   .15   .83   .59
 .41   .16   .34   .41   .53   .34   .18   .11   .08  -.02   .59   .60

[Interne Quellenbezüge: Daten in F:\SMA_O\SMA_T\THUR12\THUR12.IMA
Ursprungsmatrix A von F:\SMA_O\SMA_T\THUR12\THUR12.FAK
Faktorrueckgerechnete Korrelationen mit ohne HD=h in:
F:\SMA_O\SMA_T\THUR12\THUR1D.F12]
 

   ************     Residual analysis   **************
   Matrix residuals (whole matrix inclusive diagonal):
     Mean absolute values of residuals =  .07
     Sigma absolute values of residuals =  .13
     Maximum range absolute values =  .66 (3_3)

   Matrix residuals upper triangular matrix without diagonal:
     Mean absolute values of residuals =  .03
     Sigma absolute values of residuals =  .02
     Maximum range absolute values =  .09 (9_12)

                      Matrix of residuals:

    .14  .01 -.01  0    .05 -.03  .02  .06 -.02 -.04 -.07  0
    .01  .23  .01 -.02 -.06  .02 -.03 -.06  .01  .05  .06 -.01
   -.01  .01  .66 -.08  .06  .06  0   -.02 -.03  .03 -.02 -.06
    0   -.02 -.08  .47 -.01  0    .06  .04 -.02 -.01  0    .01
    .05 -.06  .06 -.01  .25 -.03 -.03 -.02  .03 -.01 -.03 -.02
   -.03  .02  .06  0   -.03 .45 -.06  .04  .01 -.06  0    .03
    .02 -.03  0    .06 -.03 -.06  .62 -.06  .03  .03  .03  .02
    .06 -.06 -.02  .04 -.02  .04 -.06 .61 -.02  .01 -.01  .05
   -.02  .01 -.03 -.02  .03  .01  .03 -.02  .61  0    .06 -.09
   -.04  .05  .03 -.01 -.01 -.06  .03  .01  0    .65 -.04  .05
   -.07  .06 -.02  0   -.03  0    .03 -.01  .06 -.04  .17  .04
    0   -.01 -.06  .01 -.02  .03  .02  .05 -.09  .05  .04  .40
 
Abstract/ Zusammenfassung 2: Der Mittelwert der Abweichungen zwischen ursprünglichen und reproduzierten Korrelationskoeffizienten ist 0,0651. Die maximale Abweichung zwischen ursprünglichen und reoproduzierten Korrelationskoeffizienten beträgt 0,66 in der Hauptdiagonale, ist also extrem wie so oft bei Faktorenanalysen. 



From 4 factors back calculated correlation matrix. THUR12D.F12

THURSTONE, L.L. (USA: The University of Chicago). "Factor Analysis And Body Types", Psychometrika 11,1,1946, p.19 Table 2

 
Abstract/ Zusammenfassung 3: Die aus vier Faktoren reproduzierte Matrix weicht erheblich von der Originalmatrix ab, was nicht verwundert, da kein Eigenwert der Originalmatrix nahe bei 0 ist (der kleinste Eigenwert ist hier 0,09) und entgleist in der rückgerechneten Matrix mit vier negativen Eigenwerten massiv (die Matrix wird durch die Faktorenanalyse "psychotisch"). Damit ist die reproduzierte Matrix keine Korrelations- Matrix mehr, weil eine Korrelationsmatrix keine negativen Eigenwerte haben darf und wenigstens positiv semi-definit sein muß. Das liegt im wesentlichen an den malträtierten Haupdiagonalwerten. Ansonsten ließen sich die relativ kleinen negativen Eigenwerte durchaus so "therapieren" - z.B. mit Thurstones Zentroidmethode - , daß die Matrix wenigstens wieder positiv-semidefinit wird. Wie aber will man die von einer Korrelationsmatrix extrem abweichenden Hauptdiagonal- Elemente erklären? 
Erläuterungen zur Matrixanalyse: Numerische Laien hier  * Professionell Interessierte hier * Überblick Faktorenanalyse 

Samp  Or  MD  NumS  Condit  Determinant  HaInRatio  R_OutIn  K_Norm   C_Norm
 -1    12  -1  --4   17068    6.3 D-19    5.3 D-18   14168     0(5)    -1(-1)
Residual-Analysis: Mean= .0651  Sigma= .1268  Maximum range= .66 (r3.3)

****   Summary of factor back calculated correlation matrix analysis   ****
File = THUR12D.F12   N-order= 12  N-sample=-1    Rank= 12  Missing data = ?
Positiv Definit=Cholesky successful________= No with  4 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    3.9803122663665536
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____=    2.3320468944374524D-4
CON: Condition number HEVA/LEVA___________~=    17067.8911983316
DET: Determinant original matrix___________=    6.310829954861427D-19
HAC: HADAMARD condition number_____________=    1.4419437725845558D-19
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=    3.6974866323722029D-23
D_I: Determinant Inverse absolute value____=    1.584577634245507D+18
HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<=    2.9760654869359023D+35
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=    5.3244044568285242D-18
Highest inverse positive diagonal value____=    1469.395785582
  thus multiple r( 11.rest)________________=    .999659666
  and  11 multiple r > .99
There are no negative inverse diagonal values.
 Maximum range (upp-low) multip-r( 2.rest)_=    .482
LES: Numerical stability analysis:
 Ratio maximum range output / input _______=    14168.082343973445
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    2.33D-4 (<-> Angle = .01 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    5
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ = (Not positiv definit)

 Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min    m|c|    s|c|   N_comp    M-S   S-S
  144   42.3     4.31    .86    -.06   .27     .191   2145      .213  .168

 class boundaries and distribution of the correlation-coefficients
 -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
    0    0    0    0    6    48   53   25   10   2

Original input data with  2-digit-accuracy and read with
 2-digit-accuracy (for control here the analysed original matrix):

 .86  .71  .25  .27  .76  .24  .04  .19  .06  .13  .76  .41
 .71  .77  .22  .25  .57  .27  .14  .22  .01  .11  .49  .16
 .25  .22  .34  .42  .35  .42  .31  .21  .09  .03  .32  .34
 .27  .25  .42  .53  .4   .53  .41  .22  .06 -.03  .35  .41
 .76  .57  .35  .4   .75  .36  .15  .24  .12  .12  .77  .53
 .24  .27  .42  .53  .36  .55  .42  .29  .12  .04  .3   .34
 .04  .14  .31  .41  .15  .42 .38  .16  .01 -.06  .07  .18
 .19  .22  .21  .22  .24  .29  .16  .39  .34  .31  .23  .11
 .06  .01  .09  .06  .12  .12  .01  .34  .39  .35  .17  .08
 .13  .11  .03 -.03  .12  .04 -.06  .31  .35  .35  .15 -.02
 .76  .49  .32  .35  .77  .3   .07  .23  .17  .15  .83  .59
 .41  .16  .34  .41  .53  .34  .18  .11  .08 -.02  .59  .60

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  3.98031   .9274     2.  1.23055   .4288       3.  .9468    .5161
  4.  .59107    .0918     5.  .01013   -6.3D-3      6.  7.4D-3  -.1236
  7.  4.85D-3  -.2152     8.  2.3D-4   -.1182       9. -3.81D-3 -.0761
  10.-6.43D-3  -.3498     11.-9.91D-3  -.7882       12.-.0112   -.7804
 The matrix is not positive definit. Cholesky decomposition is not success-
 ful (for detailed information Cholesky's diagonalvalues are presented).



 Die Dokumentation zur Faktorenenalyse wird im Laufe der Zeit fortgesetzt, ergänzt und erweitert
Fn_01  Deutsche Version Kapitel 7.7. aus: Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: http://ww.iec-verlag.de



Zitierung
Sponsel, Rudolf  (DAS).  Falsch angewendete Faktorenanalyse: THURSTONE, L.L. (USA: The University of Chicago). Factor Analysis And Body Types, Psychometrika 11,1,1946, p.19 Table 1.  IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/fa/thurs12.htm
Copyright & Nutzungsrechte
Diese Seite darf von jeder/m in nicht-kommerziellen Verwertungen frei aber nur original bearbeitet und nicht  inhaltlich verändert und nur bei vollständiger Angabe der Zitierungs-Quelle benutzt werden. In Streitfällen gilt der Gerichtsstand Erlangen als akzeptiert.


  Ende  Thurstone-Body Types_ Überblick  _ Relativ Aktuelles  _ Rel. Beständiges  _ Titelblatt  _ Konzept  Archiv  _ Region _ Service iec-verlag _ Mail: _ sekretariat@sgipt.org  _ _Wichtige Hinweise zu Links und Empfehlungen