Internet Publikation für Allgemeine und Integrative Psychotherapie
IP-GIPT DAS=15.05.2008 Internet-Erstausgabe, letzte Änderung 28.5.8
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Faktorenanalyse Wirtschaftsstatistik 1991-2007

von Rudolf Sponsel, Erlangen (ohne Gewähr)


Inhaltsübersicht
Zusammenfassung, Abstract, Summary.
   Überblick der Hauptergebnisse zu den Faktorenladungsmustern.
   Überblick des Verlaufs der 24 Zeitreihen (Variablen 2-25).
Dokumentation der vergleichenden Faktorenanalysen:
    Rohwerte.
    Korrelationsmatrix.
    Eigenvektoren.
    Diagonalmatrix der Eigenwerte.
    Hauptkomponenten-Zerlegung.
    Quartimax Rotation.
    Varimax Rotation.
Glossar, Anmerkungen und Endnoten:
   Ergebnisse Faktorenanalyse im engeren Sinne (Kommunalitätsmatrizen):
        Kommunalitätsmatrix mit quadriertem multiplen Korrelationskoeffizienten (HD).
        Kaiser-iterierte Kommunalitätsmatrix.
        Guttman-iterierte Kommunalitätsmatrix.
        Wiesent-iterierte Kommunalitätsmatrix.
        Vergleich der Eigenwerte und Kommunalitäten.
Aus 3 und 4 Faktoren reproduzierte Korrelationsmatrizen:
   Aus drei Faktoren reproduzierte Matrix der Faktor-Korrelationsmatrix.
   Aus vier Faktoren reproduzierte Matrix der Faktor-Korrelationsmatrix.
Querverweise.

Zusammenfassung, Abstract, Summary.
Es wurden 24 Zeitreihen (Variablen 2-25) wichtiger Daten aus dem Wirtschafts-, Finanz-, Sozial- und Staatsleben von 1991-2007 einer multivariaten, Eigenwert- und Faktorenanalyse mit einem Vergleich der Hauptkomponenten,- Quartimax- und Varimaxmethode unterzogen. Die stetigen und jährlichen Wachstumsraten - etwa zur vergleichenden Beurteilung und für Prognosen - und die Datenquellen sind an anderer Stelle mitgeteilt.
    Nachdem 24 Spalten, aber nur 17 Zeilen vorliegen (Spaltenrang = Zeilenrang), hat die Rohwertematrix höchstens Rang 17, d.h. 7 Eigenwerte müssen aus formalmathematischen Gründen 0 sein. Die Korrelationsmatrix ist daher singulär und entgleist - wahrscheinlich rundungsfehlerbedingt durch die nur einstellig mitgeteilten Sparquoten und Verbraucherpreisindices geringfügig in den letzten drei Eigenwerten, so dass bei der multivariaten Weiterverarbeitung sehr darauf geachtet werden muss, wie mit den imaginären Werten in den letzten drei Faktoren - die keine Bedeutung haben - umgegangen wird. Aus Dokumentationsgründen habe ich darauf verzichtet, die negativen Eigenwerte im Grenzbereich der rechnerischen Genauigkeit 0 zu setzen, so dass sich Kundige und / oder Interessierte einen Eindruck von der numerisch instabilen Situation verschaffen können. Man sieht hier sehr deutlich, wie wichtig "Therapiemethoden" für numerisch entgleiste Matrizen sind und mit welchen extremen Schwierigkeiten die Ökonometrie zu kämpfen hat.
    Die gesamte 24*24 Matrix wird von einem einzigen großen Eigenwert (19.77, das sind  82.38%) dominiert, den man nur als Wachstums-GENERAL-Faktor interpretieren kann. Nach dem Kriterium der Fast-Kollinearität enthält die Korrelationsmatrix neben 7 formalen Eigenwerten = 0 noch einen weiteren artefiziellen Eigenwert = 0 (die Arbeitslosenquote ist kollinear aus den Variablen Erwerbtätige und Arbeitslose) und 10 fast-kollineare Eigenwerte (< 0.20). Nur noch zwei weitere Eigenwerte (2,52; 0.99) spielen eine nennenswerte Rolle, so dass die Reproduktionsmatrix aus nur drei Faktoren mit einer durchschnittlichen Abweichung von den originären Korrelationskoeffizienten mit 0,01 für sozialwissenschaftliche Verhältnisse aussergewöhnlich gut gelingt. Reproduziert man aus vier Faktoren, ist der durchschnittliche AbweichungsBETRAG nur noch 0,005. Man sieht also, dass Faktorenanalysen sinnvoll möglich sind, wenn es die Daten hergeben und nicht Daten der Unsitte des sog. Kaiser-Kriteriums (alle Eigenwerte < 1 als "Fehler" wegwerfen) oder des sog. "Scree-Tests" geopfert werden.
Ergebnisse der verschiedenen Faktorenanalyse-Methoden (Hauptkomponente, Quartimax, Varimax). Wie gezeigt wird, spielen nur 3, höchstens 4 Faktoren eine nennenswerte Rolle. Die Hauptkomponenten- und Quartimaxmethode liefern ein übereinstimmendes Ladungsmuster im 1. großen Wachstums-GENERAL-Faktor. Zur Interpretation ist eine genaue Betrachtung der Datenentwicklung und ihrer Besonderheiten notwendig:

Überblick der Hauptergebnisse zu den Faktorenladungsmustern

Überblick des Verlaufs der 24 Zeitreihen (Variable 2-25).

    Bei der Hauptkomponentenmethode sind Faktor F3 und F4 nicht klar unterscheidbar, sie scheinen hier dieselben ökonomischen Bereiche zu beschreiben, nämlich die Variablen zum Sparen (16, 17) und zur Erwerbstätigkeit (19, 20, 21). Die Quartimaxmethode trennt die beiden Bereiche Sparen und Erwerbstätigkeit, unterscheidet aber bei den Auftragseingängen (Variable 25) nicht zwischen Faktor Fq3 und Fq4. Die Varimaxmethode bläht kleine Faktorenladungen auf und täuscht Einflüsse vor, die es auch bei sonstiger (Regression, Korrelation) Betrachtung so nicht gibt.
Interpretation der vier Faktoren orientiert an Quartimax:
1. Faktor Fq2: Wachstums-GENERAL-Faktor (Wirtschafts-Produktivität).
2. Faktor Fq3: Sparen, Gewinne, Vermögen, Steuer (Geld)
3. Faktor Fq4: Erwerbstätigkeit und Arbeitslosigkeit.
4. Faktor Fq5: Zinsausgaben des Staates (die Staatsverschuldung hat die höchste jährliche Wachstumsrate mit 6,15%).
Die Faktorenanalyse im engeren Sinne - mit den Kommunalitätsmatrizen liefert hier weitgehend (wenig Heywood-Cases) akzeptable und nur gering entgleiste Ergebnisse, was hier aber an den fast-kollinearen Daten liegt.
Vorzeichenbedeutung. Man sieht hier an den Daten, dass man die Vorzeichen bei den Faktorenladungen bei der Hauptkomponentenmethode klar interpretieren kann. Während die Vorzeichen bei allen Werten, die wachsen, positiv sind, werden sie negativ  bei den Daten (17 Sparquote und 24 Diskont), die negativ wachsen, also schrumpfen. Die Aufklärung der Bedeutung des Vorzeichens bei den Faktorenladungen ist für mich ein neuer Befund und soll daher auch gesondert ausgewiesen werden.


Dokumentation der vergleichenden Faktorenanalysen

Rohwerte [Quellenbelege hier]
Bemerkung: Logarithmiert man die Rohwerte, resultiert überraschenderweise eine kaum unterschiedliche Korrelationsmatrix (Dokumentation hier).


 

Korrelationsmatrix


 

Eigenvektoren


 

Diagonalmatrix der Eigenwerte

Hauptkomponenten-Zerlegung

Quartimax Rotation

Varimax Rotation


 



Literatur (Auswahl)



Links (Auswahl: beachte)



Glossar, Anmerkungen und Endnoten:
1) GIPT= General and Integrative Psychotherapy, internationale Bezeichnung für Allgemeine und Integrative Psychotherapie.
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Ergebnisse Faktorenanalyse im engeren Sinne (Kommunalitätsmatrizen).

Kommunalitätsmatrix mit quadriertem multiplen Korrelationskoeffizienten in der Hauptdiagonale

Kaiser-iterierte Kommunalitätsmatrix

Guttman-iterierte Kommunalitätsmatrix


 

Wiesent-iterierte Kommunalitätsmatrix

Vergleich der Eigenwerte und Kommunalitäten



Aus Faktoren reproduzierte Korrelationsmatrizen:

Aus drei Faktoren reproduzierte Matrix der Faktor-Korrelationsmatrix:

Aus vier Faktoren reproduzierte Matrix der Faktor-Korrelationsmatrix:


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Prognosen. Intern habe ich beim Vergleich Rohdaten und LN-logarithmierte Daten - die überraschenderweise zu einer kaum unterschiedlichen Korrelationsmatrix führen (Dokumentation hier) - bis zum Jahr 3007 gerechnet. Vorgreifend sei an dieser Stelle nebenbei bemerkt, dass die Zinslasten des Staates im Jahre 2214 sämtliche Staatseinnahmen überschritten, wenn die Wachstumsraten unverändert beibehalten würden.
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Variable 2-25. Variable 1, die Neuverschuldung als Differenz zwischen Staatsausgaben - Staatseinnahmen, wurde weggelassen, da erstmals 2007 erfreulicherweise ein negativer Wert resultierte (Staatseinnahmen > Staatsausgaben), weil die Zeitreihe nicht in den Vergleich mit den LN-logarithmierten Werten einbezogen werden kann. Das Weglassen ist auch insofern völlig unproblematisch, da die gesamte Information dieser kollinearen Variablen sich aus Variable 2 und 3 ergibt. Die Numerierung der Variablen wurde aber, um nicht immer wieder umdenken zu müssen, beibehalten, so dass die Zählung hier mit Variablen, Faktoren usw. 2 beginnt.
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Querverweise
Standort: Faktorenanalyse Wirtschaftsstatistik 1991-2007.
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Überblick der Dokumentationen zur Handhabung der Faktorenanalyse
Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse
Was für ein Typ Matrix entsteht durch Faktorenanalysen?
Überblick Numerisch Instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie
Zahlenmystik und numerologische Esoterik in Statistik und Testtheorie
Überblick Arbeiten zur Definitionslehre, Methodologie, Meßproblematik, Statistik und Wissenschaftstheorie
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Zitierung
Sponsel, Rudolf  (DAS). Faktorenanalyse von 24 wichtigen wirtschaftlichen Variablen der Zeitreihen 1991-2007.  IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/fa/WS9107/WS9107.htm
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