Internet Publikation für Allgemeine und Integrative Psychotherapie
(ISSN 1430-6972)
IP-GIPT DAS=14.11.2002 Internet-Erstausgabe, letzte Änderung: 14.05.15
Impressum: Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
Stubenlohstr. 20     D-91052 Erlangen * Mail: sekretariat@sgipt.org

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Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie, hier:(Entwicklungs- und Diskussionsversion)

30 Versuche mit zufällig normalverteilter Fehlerspannweite von 50% bezüglich der definierten wahren Werte des Quaders zur explorativen Untersuchung des Verhaltens der Eigenwerte und Faktoren

Materialien und Dokumente zur Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse.

von Rudolf Sponsel, Erlangen
Überblicks- und Verteilerseite zu diesen Simulations-Versuchen * Querverweise


Beschreibung dieser Versuchsserie: Was wurde gemacht ?

Ausgehend von den wahren Werten der Ausgangsbasis wurden für jeden der 800 Werte  - 100 Quader- 'ProbandInnen' mit insgesamt 8, davon drei unabhängigen und 5 linear abhängigen Variablen - mit dem Zufallsgenerator von Jörn Wilms zufällig normalverteilte Fehlerwerte für die Fehlerspannweite 50% (WW +- 25%) für die 30 verschiedenen Ziehungen erzeugt [drei Beispielgraphen hier] aus denen eine Versuchsserie besteht. Dann wurden die 30 Produkt-Moment-Korrelationsmatrizen berechnet. Anschließend wurden die 30 Korrelationsmatrizen einer Standardmatrix-Analyse (Sponsel 1994) unterzogen und dabei die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet, woraus dann die Faktoren nach der Hauptkomponentenmethode von Cooley & Lohnes gewonnen wurden. Kollinearitäts- und rundungsbedingte kleine negative Eigenwerte traten in dieser Serie nicht mehr auf. Anschließend wurden aus den Faktoren, einmal aus allen 8, einmal aus den ersten 3 Faktoren Reproduktionsmatrizen erstellt und die Mittelwerte und Standardabweichungen der Abweichungen nach einer Residualanalysemethode von der Originalkorrelationsmatrizen auf der Basis 17stelliger Genauigkeit berechnet. Wie die Mathematik erwarten läßt, gelingt die Reproduktion der Originalkorrelationsmatrix mit allen 8 Faktoren vollständig und die aus den ersten drei Faktoren in Abhängigkeit von der Fehlerspanne nur mehr oder minder angenähert, hier für die Fehlerspannweite 50% überraschend gut.
 
Sinn dieser F%*30 Eigenwert-, Faktoren- und Residualanalysen ist, Aufschlüsse darüber zu erhalten, wie sich die Eigenwerte, Faktorenanalysen und Reproduktionsgüten in Abhängigkeit von den Fehlerspannweiten verhalten und entwickeln. 

Es wurde bewußt ein Quader gewählt, weil dieser unserer dreidimensionalen Anschauung sehr zugänglich ist und weil wir jeden Wert und jede Veränderung ganz genau kennen und dokumentieren können.



Drei Beispielgraphen zur Meßwertsimulation der Versuche 1-30

Anmerkung: Die Normalverteilung bei nur 30 Ziehungen und 50% Fehlerspannweite ist in nicht wenigen Fällen nur mit Phantasie und gutwilligem Wissen erkennbar, im letzten Beispiel Quader 91in Variable 7 allerdings sehr klar und schön.



Vollständiges Beispiel aus dieser Versuchsserie, hier F50v15

Hinweis: Aus Darstellungsgründen sind die Werte gerundet. Intern wurde mit 17stelliger Genauigkeit gerechnet. Die genauen Werte werden am Ende des Versuchs in einer CD-ROM im ASCII-Format angeboten.

Urdatenliste des Beispiels F50v15

Hinweis: Aus Darstellungsgründen sind die Werte gerundet. Intern wurde mit 17stelliger Genauigkeit gerechnet. Die genauen Werte werden am Ende des Versuchs in einer CD-ROM im ASCII-Format angeboten.

       1       2       3       4       5       6       7       8
i\j:  Länge   Breite  Höhe    Volum   Oberfl  L*B     L*H     B*H
 1    1.022   93.916  61.26   5086.1  11982   94      60      5619.7
 2    2.2     67.1    71.6    9528.6  9332.7  128.48  159.61  4802.6
 3    3.1     21.7    39.8    2444.7  1878.1  61.4    110.47  860.37
 4    3.74    75.02   95.69   28577   14453   286.9   345.98  6126.3
 5    5.7     74.9    8.2     3101.3  2297.7  510.98  40.65   718.95
 6    6.05    99.77   72.38   39193   16365   587.35  420.26  7292.7
 7    7.6     37      39.5    14368   5523.5  326.15  294.59  2095.9
 8    7.4     19.3    73.7    9387.9  4822.3  149.25  649.97  1533.1
 9    8.1     13.6    90.7    10528   3555    114.92  748.8   1077.5
 10   9.1     58.9    36.8    22458   6815.3  595.56  398.24  1825.3
 11   12.4    12.5    69.7    11249   3518.4  116.44  809.18  938.02
 12   13.18   1.02    58.14   630.33  1439.5  13.7    700.13  49.79
 13   13.22   40.26   78.22   37288   8363    547.35  1093.3  2899.2
 14   13.1    29.9    19.3    8476.6  2928.1  548.29  284.28  558.02
 15   14.26   70.5    31.8    41666   9748.5  1364.8  548.82  3101.6
 16   16      19.7    31.5    8556.6  2532.7  298.88  488.05  523.82
 17   16.07   94.66   55.38   91394   14810   1659.2  827.98  6061.1
 18   17.2    71.4    51.6    72841   13254   1603.7  973.11  3699.5
 19   17.9    74      37.3    67196   12962   1643.5  776.84  3407.6
 20   22.5    79.9    37.1    57135   10796   1651.2  767.82  2969.7
 21   21      46.1    58.8    49923   10315   1320.7  980.92  2511.1
 22   21.2    84.9    19.1    35933   9378.3  1695.5  385.64  1561.1
 23   23.4    35.2    60.7    51271   9896.5  971.34  1182.5  2069.6
 24   24.2    77.4    71.3    126745  16213   1666.8  1893.5  4393.6
 25   30.6    81.9    51.9    105502  13284   2294    1076.4  3584.2
 26   28.9    74.4    37.8    85897   10278   1996.8  1103    2865.1
 27   24.5    49.8    2.2     2496.7  2562.1  1322.6  54.2    105.54
 28   32.06   56.18   42.32   65895   9271.4  1348.1  1087.4  2180.8
 29   30.8    33.3    50.4    50042   6304.1  971.29  1407.4  1613.5
 30   27.2    36.9    72.1    89988   14096   981.67  2330.7  3112.5
 31   29.7    86.7    71      174796  19643   2483.4  2412.5  6405.9
 32   29.7    58.1    61.9    146428  18122   1818    2114.5  4816.8
 33   35.8    48.1    10.8    15491   4167.5  1182.4  411.28  558.57
 34   31.09   55.45   70.86   140137  15549   1980.3  1983.2  4058.1
 35   36.1    5.3     85.9    18047   8233.2  204.35  3032.9  539.41
 36   41.28   53.13   27.9    54349   8965.6  2063.6  945.77  1695.2
 37   39.8    93.2    24.7    82683   14523   3555.6  1025.8  2505.5
 38   36.4    18.2    24.4    18038   4066.1  639.21  885.99  413.35
 39   40.6    79.16   9.97    22304   7091    2543.9  380.58  563.76
 40   39.26   68.27   49.03   134719  15234   2542.9  2119.4  3346
 41   43.6    58.8    37      65440   9771.6  2041.7  1547.1  1570.3
 42   38.2    34      44.9    64215   10101   1364.8  2012.6  1442
 43   43.8    16.3    5.4     4199.9  1996.3  575.36  234.26  100.87
 44   44.02   82.78   13.64   43630   10486   3277.1  619.66  1224.3
 45   39.6    113.17  113.38  417007  33333   4758.7  3786.1  9028.4
 46   47.9    95.4    74.8    302758  31069   4292.7  3426.8  7408.8
 47   49.4    68.8    41      134357  14481   3692.6  1848.2  2940.6
 48   41.8    25.5    18.8    26067   5728.8  1340.7  1108.1  595.44
 49   47.05   43.5    39.32   83281   11734   2565    1853.9  1901.2
 50   43.5    92.7    10.1    44383   12802   4416.9  529.23  937.23
 51   54.07   89.08   81.2    373183  31437   4057.1  4453.2  7762
 52   62.8    53.7    55.7    161645  15415   2597.3  2644.7  2744.7
 53   54      84      19.4    106116  16168   5031.3  1111.7  1724.8
 54   53      45.7    8.1     20557   6417.7  2094.3  436.29  377.05
 55   52.1    102.33  65.63   349367  29094   4956.6  3115.3  6368.6
 56   49.6    96.9    68.6    339606  26409   4286.6  3274    5975.2
 57   57.5    70.4    73.2    290231  22259   3685.7  3425.2  4172.2
 58   56.1    93.6    100.81  415969  40711   6393.2  4677.6  7528.2
 59   56.5    89.4    26      120585  19195   5627.3  1446.4  1902.9
 60   56.2    9.1     11.8    6153.6  3049.5  511.09  777.65  100.37
 61   53.92   39.19   62.2    141252  16954   2238.6  3760.6  2159
 62   60.5    61.6    24      74893   12036   3602.1  1697.7  1466.1
 63   58.7    82.7    21.8    105463  17706   5106.8  1354.7  1842.4
 64   74.1    56      94.3    352019  27633   4158.5  5852.8  4726.3
 65   67.7    60.7    25.8    78513   13935   3365.2  1556    1262.4
 66   65      35.8    39.2    92111   10761   2151.1  2661.6  1339.4
 67   71.6    12.9    22.4    16848   5674.3  936.26  1268.8  271.81
 68   60.85   76.91   63.22   306231  33897   5536.6  4940.5  5254.9
 69   69.5    77.6    82.8    442687  37553   5536.4  5428.7  6415
 70   70.7    44.7    49      126465  16244   3204.7  3260.7  1995.7
 71   77.2    37.8    86      228626  24201   2926.2  6384.9  3361.5
 72   65.2    3.8     61.8    21228   12526   288.25  4866.9  291.06
 73   78.22   49.99   39.08   166363  20794   3877.6  2840.2  2004.8
 74   79.3    66.5    64.5    327944  25728   4483.8  5493    3984.8
 75   78.6    88.1    100.23  654582  38543   6396    8423.6  8230.8
 76   73.5    5.4     86.7    49546   18389   504.46  6946.3  637.73
 77   68.88   76.6    44.05   304937  24676   6480.9  3178.1  3180.4
 78   74.3    12.7    21.5    19682   5756.9  911.55  1654.7  223.49
 79   74.35   36.44   107.36  335789  27767   2853.4  8284.9  3588.1
 80   82.1    56.1    95.8    471415  31064   4674.2  7870.3  5019.1
 81   80.2    4       21.5    6521.9  4709.4  296.63  1704.6  85.1
 82   84.1    50.8    47.3    241456  24941   5023.6  4167.6  2951.4
 83   92      77.7    113.96  626640  51822   6242.7  9204.6  8018.4
 84   97      76.3    48.1    367451  28961   6334.3  4993.8  4092.1
 85   88      3       17      4872.8  3708.9  277.81  1571.3  50.8
 86   84.7    62.2    33.9    217114  22154   6334.1  2728.5  2735.7
 87   88.7    85.1    42.4    368686  31560   9472.6  3650.2  3874
 88   66.6    25      87.9    203989  22467   2794.6  7459.9  2283.7
 89   83.6    67.8    13.5    74769   14932   5698    1286.3  795.73
 90   92.41   40.21   86.46   351389  32123   3351.4  7702.8  4021
 91   102.07  50.62   72.26   339999  30623   4966.3  6730.9  3460.6
 92   101.88  9.32    1.83    1911.2  1910.4  810.19  163.29  20.47
 93   94.7    47.15   101.58  485579  36252   5281.7  9182.2  4518.5
 94   96.4    22.3    22.3    42011   10556   2202    2168    602.14
 95   99.31   42.94   28.71   115529  18530   4541.4  2273.5  1087.7
 96   90.7    1       61.2    5784.2  11159   100.61  6301.5  55.2
 97   82.8    111.18  87.5    870213  49799   11165   8535.3  7745.7
 98   91.5    95.6    67.9    529609  39637   10288   6320.7  5567.4
 99   104.8   24.7    68.63   216657  20685   3087.6  7246.5  2140.8
 100  95.2    47.1    88.7    402881  35965   4814.3  9094.9  3871.1

     Mittelwert     Varianz        Standard AW
 1    50.4           847.6          29.1
 2    54.9           852.9          29.2
 3    51.8           815.7          28.6
 4    151701.9       29554781600    171915
 5    16405.6        128724150.5    11345.7
 6    2757.7         5394369.8      2322.6
 7    2698.5         6446189.3      2538.9
 8    2861           5182826.4      2276.6

Anmerkung: Beispiel, daß die großen Unterschiede zwischen den Zahlen für die Korrelationen invariant sind hier.

[Interne Quellen: 30.10.2002 fuer Batchbetrieb Kor fuer Quaderversuch
Daten von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\URDAT\BASIS\QF50\QF50v15
Dateiname = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\URDAT\BASIS\QF50v15\KOR\QF50v15.DAN
Korrelation in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\URDAT\BASIS\QF50v15\KOR\.d08
Auswertung vom 11/05/02 16:41:26]


Standard-Matrixanalyse der Korrelationsmatrix dieses Beispiels F50.15
 
Abstract/ Zusammenfassung Analsye Korrelationsmatrix der Basisdaten
Die Matrix ist wie die ganze Serie positiv definit, d.h. es kommen keine bösartigen Entgleisungen durch Kollinearitäts- und rundungsbedingte Instabilitäten vor.

Samp _Ord_ MD_ NumS_ Condition_ Determinant_ HaInRatio_ R_OutIn_ K_NormC_Norm
 100  8     0   --     4567.7     1.19D-7    8.99D-13   2270.9   1D-3(1)  .056(1)
 
Informationen zur Matrixanalyse: Numerische Laien hier  und   Professionell Interessierte hier     Weitere Querverweise

**********    Summary of standard correlation matrix analysis   ***********
File = QF50v15.d08   N-order= 8   N-sample= 100  Rank= 8   Missing data =  0
Positiv Definit=Cholesky successful________= Yes with  0 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    5.0494490113276507
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____=    1.1054739134424493D-3
CON: Condition number HEVA/LEVA___________~=    4567.6781242206342
DET: Determinant original matrix (OMIKRON)_=    1.191587531929124D-7
DET: Determinant (CHOLESKY-Diagonal^2)_____=    1.191587531929124D-7
DET: Determinant (PESO-CHOLESKY)___________=    1.191587531929124D-7
DET: Determinant (product eigenvalues)_____=    1.1915875319291179D-7
DET: Determ.abs.val.(PESO prod.red.norms)__=    1.1915875319291239D-7
HAC: HADAMARD condition number_____________=    7.7110164779836343D-10
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=    2.6087379616584522D-11
D_I: Determinant Inverse absolute value____=   8392166
HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<=    9.3286357763311021D+18
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=    8.9961339358334676D-13
Highest inverse positive diagonal value____=    318.880585599
  thus multiple r( 5.rest)_________________=    .998430784
  and  5 multiple r > .99
There are no negative inverse diagonal values.
 Maximum range (upp-low) multip-r( 4.rest)_=    .242
LES: Numerical stability analysis:
 Ratio maximum range output / input _______=    2270.8950811337616
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    8.72D-4 (<-> Angle = .05 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    1
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ =    .056 (<-> Angle = 3.21 )
Number of Ratios Cholesky RN/ON < .1 _____ =    1

Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min    m|c|    M|c|   N_comp    s-S   S-S
 64    39.2     5.4     1      -.099  .556    .26    378       .296  .23

 class boundaries and distribution of the correlation coefficients
 -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
    0    0    0    0    2    8    2    14   20   18

Original data with  17, input read with  17, computet with 19,
 and showed with  3 digit accuracy
(for control here the analysed original matrix):

Läng  Breit  Höhe  Volum Ober  L*B   L*H   B*H
 1    -.099  .102  .545  .557  .606  .706  .041
-.099  1     .153  .482  .542  .605  .054  .727
 .102  .153  1     .628  .668  .242  .695  .711
 .545  .482  .628  1     .96   .84   .822  .752
 .557  .542  .668  .96   1     .842  .831  .795
 .606  .605  .242  .84   .842  1     .579  .529
 .706  .054  .695  .822  .831  .579  1     .463
 .041  .727  .711  .752  .795  .529  .463  1

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  5.04945   1         2.  1.5495    .9951       3.  1.09273  .9812
  4.  .13847    .4113     5.  .08269    .1503       6.  .07043   .3069
  7.  .01563    .2559     8.  1.11D-3   .0728
 Cholesky decomposition successful, thus the matrix is (semi) positive definit.

 Eigenwerte in Prozentanteilen von der Spur =  8
  1  .6312  2  .1937  3  .1366  4  .0173  5  .0103  6  8.8D-3
  7  2D-3   8  1D-4  (mit 100 multiplizieren)

[Interne Quelle: analysed: 11/12/02 12:15:26  PRG version 30.10.2002 MABAT9q.BAS
File = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF50v15\QF50v15.SMA
 with data from C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF50v15\QF50v15.d08]
 



Die drei Hauptfaktoren und Rückrechnung der Reproduktionsmatrix dieses Beispiels

Matrix der 8 Faktoren nach VEK * EIW^1/2:
 .551 -.744 -.296 -.22   .031 -.064  .034 -3D-3
 .542  .714 -.404 -.082 -.154  1D-3  .041 -5D-3
 .684  .09   .706  .038 -.027 -.148  .04  -4D-3
 .974 -.043 -.025  .125  .113  .136  .055 -.01
 .996 -6D-3 -.016 -.01  -.018 -.013 -.086 -.019
 .838 -.042 -.497  .189  .029 -.115 -.011  .014
 .834 -.45   .25   .012 -.163  .108 -.011  .014
 .804  .52   .183 -.174  .13   .028 -.022  .015

Transponierte der 8 Faktoren:
 .551  .542  .684  .974  .996  .838  .834  .804
-.744  .714  .09  -.043 -6D-3 -.042 -.45   .52
-.296 -.404  .706 -.025 -.016 -.497  .25   .183
-.22  -.082  .038  .125 -.01   .189  .012 -.174
 .031 -.154 -.027  .113 -.018  .029 -.163  .13
-.064  1D-3 -.148  .136 -.013 -.115  .108  .028
 .034  .041  .04   .055 -.086 -.011 -.011 -.022
-3D-3 -5D-3 -4D-3 -.01  -.019  .014  .014  .015

Reproduktionsmatrix aus allen 8 Faktoren:
 1    -.099  .102  .545  .557  .606  .706  .041
-.099  1     .153  .482  .542  .605  .054  .727
 .102  .153  1     .628  .668  .242  .695  .711
 .545  .482  .628  1     .96   .84   .822  .752
 .557  .542  .668  .96   1     .842  .831  .795
 .606  .605  .242  .84   .842  1     .579  .529
 .706  .054  .695  .822  .831  .579  1     .463
 .041  .727  .711  .752  .795  .529  .463  1

Residualanalyse Original-Korrelationen und aus 8 Faktoren reproduzierte:
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0

Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  8.3795910680683865D-18
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  5.223809979403365D-18
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  2.7321894746634712D-17

Reproduktionsmatrix aus 3 Faktoren:
 .945 -.113  .101  .576  .558  .639  .721  1D-3
-.113  .968  .15   .508  .542  .625  .03   .734
 .101  .15   .974  .644  .669  .219  .707  .727
 .576  .508  .644  .95   .97   .83   .825  .756
 .558  .542  .669  .97   .992  .842  .829  .795
 .639  .625  .219  .83   .842 .95   .594  .561
 .721  .03   .707  .825  .829  .594  .961  .483
 1D-3  .734  .727  .756  .795  .561  .483  .951

Residualanalyse Original-Korrelationen und aus 3 Faktoren reproduzierte:
 .055  .015  2D-3  .031  0     .034  .015  .04
 .015  .032  2D-3  .025  0     .021  .024  7D-3
 2D-3  2D-3  .026  .016  1D-3  .023  .012  .015
 .031  .025  .016  .05   .01   .011  3D-3  5D-3
 0     0     1D-3  .01   8D-3  0     2D-3  1D-3
 .034  .021  .023  .011  0     .05   .015  .032
 .015  .024  .012  3D-3  2D-3  .015  .039  .02
 .04   7D-3  .015  5D-3  1D-3  .032  .02   .049

Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .016657843237610374
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .01450098447537691
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .054816313580873143
 
Summary/Abstract/Zusammenfassung der Rückrechnung 

Die Matrix ist positiv definit, somit ist die Durchführung einer Hauptkomponentenanalyse und der Berechnung der Faktoren kein Problem. Entgleisungen sind nicht zu befürchten. 

Man wird bei der Konstruktion dieses Beispiels mit 50% Fehlerspannweite nicht mehr unbedingt erwarten, daß sich die Ausgangsmatrix durch drei unabhängige Faktoren gut reproduzieren lassen sollte. Doch dem ist nicht so. Wider Erwarten gelingt die Reproduktion sogar ziemlich gut, wie alle 30 Faktorenanalysen (siehe bitte unten) eindrucksvoll dokumentieren - falls ich keine Fehler gemacht habe (trotz intensiven Suchens fand ich bislang keine). Die ersten drei Eigenwerte schöpfen 96,15% der Spur aus. Das ist bereits eine wichtige Information über die Größenordnung, die man braucht für Variablenreduktion.

Die Reduktion auf drei Faktoren ist nach dem Quadermodell mit den drei unabhängigen Parametern Länge, Breite und Höhe zwar klar, daß sie aber in diesem Ausmaß und in dieser Qualität gelingt, ist für mich sehr überraschend, so sehr, daß ich meinen Daten immer noch nicht so recht trauen kann. 

Die 50%ige eingebaute Fehlerspannweite hat also wie es scheint auf die Reproduktionsgüte keine nennenswerten Auswirkungen. Eine Übersicht der Ergebnisse für die Reproduktionsgüte bei den 30 Versuchen erfolgt unten.
 

[Interne Quellen: Faktoren in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF50v15\FAK\QF50v15.PFA
als 1-zeiliger Spaltenvektor in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF50v15\FAK\QF50v15.FAK
Vektordaten von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF50v15\QF50v15.VEK
Negative Eigenwerte wurden 0 gesetzt:
Eigenwerte von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF50v15\QF50v15.EDI]


Reproduktionen der Originalkorrelationsmatrix aus den drei konstituierenden Faktoren des Quaders dieser 30 Fehlerversuche F50.1-30

Bemerkung: Kleine negative Eigenwerte - meist eine Folge der Kollinearität im Zusammenhang mit Rundungsfehlern -kamen in der 50%-Fehlrspannweitenserie nicht vor, mußten hier also auch nicht 0 gesetzt werden, um die einfache Haupkomponentenmethode nach Cooley & Lohnes durchzuführen.  . Zur Methode der Residualbestimmung

Reproduktionsmatrix F50v01 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .952 -.103  .117  .575  .562  .657  .711  .028
-.103  .954  .128  .516  .552  .613  .055  .734
 .117  .128  .964  .627  .649  .175  .721  .696
 .575  .516  .627  .94   .963  .813  .821  .764
 .562  .552  .649  .963  .987  .829  .829  .802
 .657  .613  .175  .813  .829 .951  .582  .55
 .711  .055  .721  .821  .829  .582 .956  .51
 .028  .734  .696  .764  .802  .55   .51   .942
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018266129429672806
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014812481831675192
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .059876752740494187

Reproduktionsmatrix F50v02 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .944 -.149  .081  .519  .515  .601  .692 -.054
-.149  .956  .134  .513  .519  .633  7D-3  .712
 .081  .134  .969  .653  .687  .204  .714  .724
 .519  .513  .653  .947  .966  .815  .803  .758
 .515  .519  .687  .966  .987  .819  .824  .784
 .601  .633  .204  .815  .819  .952  .557  .539
 .692  7D-3  .714  .803  .824  .557 .954  .467
-.054  .712  .724  .758  .784  .539  .467  .941
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .019062043823446434
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .01510880635466133
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .058784086736441265

Reproduktionsmatrix F50v03 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .946 -.12   .068  .578  .565  .641  .737  .021
-.12   .956  .079  .511  .524  .616  9D-3  .7
 .068  .079  .971  .564  .61   .139  .659  .701
 .578  .511  .564  .945  .966  .839  .806  .759
 .565  .524  .61   .966  .99   .839  .825  .797
 .641  .616  .139  .839  .839  .952  .593  .553
 .737  9D-3  .659  .806  .825  .593 .957  .487
 .021  .7    .701  .759  .797  .553  .487  .945
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018264280013295097
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014529574360115369
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .055473218788091245

Reproduktionsmatrix F50v04 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .942 -.112  .103  .571  .557  .648  .71   .022
-.112  .958  .134  .499  .53   .61   .033  .712
 .103  .134  .968  .628  .667  .203  .715  .721
 .571  .499  .628  .929  .957  .817  .816  .752
 .557  .53   .667  .957  .987  .83   .833  .798
 .648  .61   .203  .817  .83 .946  .59   .551
 .71   .033  .715  .816  .833  .59   .959  .508
 .022  .712  .721  .752  .798  .551  .508  .936
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .019777491266888438
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .016273422214505437
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .070990516799494391

Reproduktionsmatrix F50v05 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .952 -.119  .086  .583  .535  .637  .714  .029
-.119  .952  .081  .484  .523  .619  .013  .694
 .086  .081  .965  .6    .653  .207  .696  .706
 .583  .484  .6    .946  .964  .848  .822  .763
 .535  .523  .653  .964  .989  .845  .825  .822
 .637  .619  .207  .848  .845  .954  .608  .593
 .714  .013  .696  .822  .825  .608 .955  .515
 .029  .694  .706  .763  .822  .593  .515  .946
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .01971060099341887
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014024286802739069
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .054321124754758419

Reproduktionsmatrix F50v06 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .943 -.145  .112  .543  .522  .622  .712 -6D-3
-.145  .947  .089  .502  .517  .611  .041  .701
 .112  .089  .967  .624  .677  .212  .713  .708
 .543  .502  .624  .942  .965  .836  .825  .769
 .522  .517  .677  .965  .992  .834  .846  .814
 .622  .611  .212  .836  .834  .953  .621  .569
 .712  .041  .713  .825  .846  .621 .959  .518
-6D-3  .701  .708  .769  .814  .569  .518  .949
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .020162537442783721
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .01478750672756923
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .058208279204252963

Reproduktionsmatrix F50v07 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .952 -.098  .085  .573  .55   .657  .705  .019
-.098  .957  .102  .489  .517  .61   .056  .7
 .085  .102  .971  .633  .671  .215  .711  .719
 .573  .489  .633  .946  .966  .831  .845  .765
 .55   .517  .671  .966  .99   .836  .855  .808
 .657  .61   .215  .831  .836 .945  .631  .568
 .705  .056  .711  .845  .855  .631 .962  .533
 .019  .7    .719  .765  .808  .568  .533  .947
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .017929284198597656
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014148670944061728
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .054750612246710377

Reproduktionsmatrix F50v08 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .948 -.146  .113  .56   .559  .642  .723  .022
-.146  .955  .096  .473  .52   .598 -.01   .709
 .113  .096  .97   .64   .648  .187  .701  .709
 .56   .473  .64   .937  .965  .81   .811  .772
 .559  .52   .648  .965  .996  .844  .817  .809
 .642  .598  .187  .81   .844 .956  .582  .563
 .723 -.01   .701  .811  .817  .582 .948  .49
 .022  .709  .709  .772  .809  .563  .49   .952
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018356416993688478
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .015076580761908134
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .06309451330093843

Reproduktionsmatrix F50v09 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .952 -.122  .102  .592  .583  .645  .735 -1D-3
-.122  .952  .152  .502  .51   .614  .018  .727
 .102  .152  .974  .622  .666  .189  .693  .726
 .592  .502  .622  .948  .968  .829  .817  .74
 .583  .51   .666  .968  .99   .828  .839  .773
 .645  .614  .189  .829  .828  .955  .58   .538
 .735  .018  .693  .817  .839  .58 .96   .467
-1D-3  .727  .726  .74   .773  .538  .467  .946
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .017769778788086566
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .013978429533744673
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .054101415642454927

Reproduktionsmatrix F50v10 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .952 -.105  .084  .575  .569  .672  .716  2D-3
-.105  .961  .16   .512  .53   .598  .053  .735
 .084  .16   .969  .641  .666  .222  .698  .721
 .575  .512  .641  .952  .971  .837  .833  .756
 .569  .53   .666  .971  .99   .846  .845  .784
 .672  .598  .222  .837  .846  .954  .628  .55
 .716  .053  .698  .833  .845  .628 .958  .492
 2D-3  .735  .721  .756  .784  .55   .492  .943
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .017653707643867227
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .013402023446211292
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .056871235096027572

Reproduktionsmatrix F50v11 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .957 -.095  .057  .545  .549  .655  .69   1D-3
-.095  .957  .092  .516  .523  .617  .015  .719
 .057  .092  .959  .614  .646  .187  .694  .691
 .545  .516  .614  .943  .966  .826  .799  .774
 .549  .523  .646  .966  .991  .836  .824  .799
 .655  .617  .187  .826  .836  .945  .584  .568
 .69   .015  .694  .799  .824  .584  .944  .484
 1D-3  .719  .691  .774  .799  .568  .484  .947
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .019822242986755235
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014603531409652038
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .057363074471897763

Reproduktionsmatrix F50v12 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .958 -.05   .113  .61   .578  .691  .727  .055
-.05   .963  .107  .511  .549  .619  .031  .721
 .113  .107  .966  .618  .666  .188  .712  .7
 .61   .511  .618  .942  .967  .825  .819  .756
 .578  .549  .666  .967  .996  .828  .828  .813
 .691  .619  .188  .825  .828  .945  .59   .552
 .727  .031  .712  .819  .828  .59 .964  .494
 .055  .721  .7    .756  .813  .552  .494  .942
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .016772085001164801
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .015000918094713479
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .057819799236703113

Reproduktionsmatrix F50v13 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .95  -.133  .096  .554  .554  .647  .716 -4D-3
-.133  .959  .121  .527  .539  .598  .051  .749
 .096  .121  .966  .59   .639  .158  .699  .678
 .554  .527  .59   .927  .956  .818  .805  .752
 .554  .539  .639  .956  .989  .826  .837  .79
 .647  .598  .158  .818  .826  .945  .595  .541
 .716  .051  .699  .805  .837  .595 .955  .487
-4D-3  .749  .678  .752  .79   .541  .487  .944
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018405416800523231
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .01522925150748144
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .073392059275795114

Reproduktionsmatrix F50v14 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .944 -.128  .129  .585  .556  .632  .734  .029
-.128  .957  .126  .488  .54   .619  .014  .718
 .129  .126  .971  .636  .665  .181  .706  .717
 .585  .488  .636  .942  .966  .811  .82   .757
 .556  .54   .665  .966  .994  .827  .82   .81
 .632  .619  .181  .811  .827  .952  .569  .552
 .734  .014  .706  .82   .82   .569  .957  .49
 .029  .718  .717  .757  .81   .552  .49   .945
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018274534457173636
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .015473858168063075
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .057744965229349658

Reproduktionsmatrix F50v15 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
Vollständiges Beispiel siehe bitte oben
 .945 -.113  .101  .576  .558  .639  .721  1D-3
-.113  .968  .15   .508  .542  .625  .03   .734
 .101  .15   .974  .644  .669  .219  .707  .727
 .576  .508  .644  .95   .97   .83   .825  .756
 .558  .542  .669  .97   .992  .842  .829  .795
 .639  .625  .219  .83   .842 .95   .594  .561
 .721  .03   .707  .825  .829  .594  .961  .483
 1D-3  .734  .727  .756  .795  .561  .483  .951
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .016657843237610374
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .01450098447537691
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .054816313580873143

Reproduktionsmatrix F50v16 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .946 -.113  .075  .584  .553  .658  .708  2D-3
-.113  .964  .141  .489  .532  .604  .017  .706
 .075  .141  .969  .623  .659  .236  .696  .741
 .584  .489  .623  .943  .963  .848  .821  .743
 .553  .532  .659  .963  .988  .856  .823  .794
 .658  .604  .236  .848  .856  .955  .616  .559
 .708  .017  .696  .821  .823  .616 .955  .494
 2D-3  .706  .741  .743  .794  .559  .494  .945
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018029873356042811
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014293545310381074
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .057271669296253455

Reproduktionsmatrix F50v17 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .944 -.115  .109  .589  .574  .643  .721  .014
-.115  .952  .112  .494  .523  .617 -2D-3  .716
 .109  .112  .97   .61   .649  .187  .703  .706
 .589  .494  .61   .939  .965  .829  .803  .743
 .574  .523  .649  .965  .993  .84   .818  .788
 .643  .617  .187  .829  .84 .953  .567  .554
 .721 -2D-3  .703  .803  .818  .567 .952  .47
 .014  .716  .706  .743  .788  .554  .47   .943
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018904339158656048
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .015251983470225178
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .060681885108944258

Reproduktionsmatrix F50v18 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .962 -.1    .127  .569  .552  .625  .737  .046
-.1    .955  .129  .528  .544  .651  .041  .703
 .127  .129  .965  .64   .675  .195  .707  .733
 .569  .528  .64   .947  .964  .817  .813  .786
 .552  .544  .675  .964  .983  .817  .825  .82
 .625  .651  .195  .817  .817  .949  .571  .57
 .737  .041  .707  .813  .825  .571 .957  .519
 .046  .703  .733  .786  .82   .57   .519  .949
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .017848482399493869
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .013486782171006848
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .053208626764459002

Reproduktionsmatrix F50v19 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .954 -.118  .085  .572  .56   .659  .713  .047
-.118  .958  .136  .504  .523  .598  7D-3  .743
 .085  .136  .967  .625  .664  .178  .7    .695
 .572  .504  .625  .943  .966  .816  .807  .782
 .56   .523  .664  .966  .991  .821  .825  .818
 .659  .598  .178  .816  .821  .945  .571  .581
 .713  7D-3  .7    .807  .825  .571  .955  .492
 .047  .743  .695  .782  .818  .581  .492  .95
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018690886926366067
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014219339514942411
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .056589302927650869

Reproduktionsmatrix F50v20 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .952 -.104  .087  .568  .571  .643  .736  .02
-.104  .956  .082  .516  .505  .633  .039  .692
 .087  .082  .969  .592  .651  .194  .678  .713
 .568  .516  .592  .939  .965  .848  .817  .765
 .571  .505  .651  .965  .994  .846  .856  .797
 .643  .633  .194  .848  .846  .962  .628  .576
 .736  .039  .678  .817  .856  .628 .962  .509
 .02   .692  .713  .765  .797  .576  .509  .946
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .01807757792996782
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014005810278950757
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .060982690495497215

Reproduktionsmatrix F50v21 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .95  -.128  .096  .566  .558  .625  .73   .045
-.128  .96   .135  .534  .557  .626  .077  .732
 .096  .135  .966  .605  .631  .162  .69   .707
 .566  .534  .605  .951  .972  .826  .834  .789
 .558  .557  .631  .972  .994  .837  .846  .82
 .625  .626  .162  .826  .837  .946  .604  .578
 .73   .077  .69   .834  .846  .604  .965  .542
 .045  .732  .707  .789  .82   .578  .542  .949
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .017566794159826596
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014938137620890068
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .054183877622267525

Reproduktionsmatrix F50v22 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .96  -.132  .109  .581  .593  .653  .748  .049
-.132  .959  .108  .495  .487  .599  .01   .724
 .109  .108  .963  .613  .652  .153  .685  .699
 .581  .495  .613  .941  .964  .811  .816  .778
 .593  .487  .652  .964  .989  .814  .849  .799
 .653  .599  .153  .811  .814  .949  .585  .561
 .748  .01   .685  .816  .849  .585  .961  .5
 .049  .724  .699  .778  .799  .561  .5    .952
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .017784564137978517
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .013387685589163975
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .059053181639259361

Reproduktionsmatrix F50v23 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .949 -.144  .037  .568  .534  .649  .694  .017
-.144  .957  .136  .482  .518  .589 -3D-3  .718
 .037  .136  .966  .608  .645  .196  .679  .714
 .568  .482  .608  .95   .966  .842  .814  .769
 .534  .518  .645  .966  .986  .844  .816  .814
 .649  .589  .196  .842  .844  .954  .594  .585
 .694 -3D-3  .679  .814  .816  .594 .947  .499
 .017  .718  .714  .769  .814  .585  .499  .944
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .0187676383385313
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .013869291164396824
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .056050450198512611

Reproduktionsmatrix F50v24 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .943 -.116  .08   .547  .522  .628  .699 -.02
-.116  .957  .139  .517  .552  .631  .066  .739
 .08   .139  .97   .638  .672  .189  .712  .702
 .547  .517  .638  .945  .967  .816  .834  .758
 .522  .552  .672  .967  .992  .825  .841  .803
 .628  .631  .189  .816  .825  .951  .596  .555
 .699  .066  .712  .834  .841  .596 .963  .498
-.02   .739  .702  .758  .803  .555  .498  .943
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018087183748891812
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .015056157270502826
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .056809080207424038

Reproduktionsmatrix F50v25 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .955 -.097  .087  .605  .59   .667  .738  .056
-.097  .96   .14   .504  .542  .613  .026  .725
 .087  .14   .971  .601  .632  .169  .676  .725
 .605  .504  .601  .942  .967  .829  .816  .765
 .59   .542  .632  .967  .995  .845  .825  .809
 .667  .613  .169  .829  .845  .955  .589  .564
 .738  .026  .676  .816  .825  .589 .955  .503
 .056  .725  .725  .765  .809  .564  .503  .955
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .016724948771071383
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .01402153444938972
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .057864850311864051

Reproduktionsmatrix F50v26 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .948 -.112  .094  .565  .552  .654  .721  .022
-.112  .96   .149  .529  .554  .61   .047  .749
 .094  .149  .966  .615  .655  .18   .698  .706
 .565  .529  .615  .937  .962  .821  .81   .77
 .552  .554  .655  .962  .99   .829  .828  .812
 .654  .61   .18   .821  .829 .949  .592  .56
 .721  .047  .698  .81   .828  .592  .96   .497
 .022  .749  .706  .77   .812  .56   .497  .955
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .017919051013848818
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014723542088411136
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .063361453013835167

Reproduktionsmatrix F50v27 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .952 -.115  .06   .53   .538  .627  .688  8D-3
-.115  .952  .166  .54   .554  .634  .044  .735
 .06   .166  .97   .621  .659  .214  .707  .724
 .53   .54   .621  .926  .958  .828  .791  .777
 .538  .554  .659  .958  .991  .846  .822  .811
 .627  .634  .214  .828  .846  .952  .579  .589
 .688  .044  .707  .791  .822  .579 .953  .508
 8D-3  .735  .724  .777  .811  .589  .508  .947
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .020196289800343188
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .014905195037714982
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .073961462775978028

Reproduktionsmatrix F50v28 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .954 -.12   .074  .579  .565  .66   .711  .024
-.12   .954  .123  .484  .518  .6    7D-3  .696
 .074  .123  .973  .627  .651  .221  .694  .737
 .579  .484  .627  .95   .971  .845  .82   .768
 .565  .518  .651  .971  .994  .86   .827  .805
 .66   .6    .221  .845  .86   .959  .61   .575
 .711  7D-3  .694  .82   .827  .61   .951  .509
 .024  .696  .737  .768  .805  .575  .509  .948
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .017943086137502446
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .013552036031526695
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .051835586222441811

Reproduktionsmatrix F50v29 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .956 -.101  .15   .597  .604  .662  .761  .057
-.101  .957  .117  .496  .498  .612  8D-3  .695
 .15   .117  .969  .648  .682  .213  .695  .734
 .597  .496  .648  .947  .97   .823  .817  .772
 .604  .498  .682  .97   .995  .831  .843  .797
 .662  .612  .213  .823  .831  .95   .6    .554
 .761  8D-3  .695  .817  .843  .6  .958  .493
 .057  .695  .734  .772  .797  .554  .493  .947
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .017070063019682471
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .013618754462318341
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .053413190447011868

Reproduktionsmatrix F50v30 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix F50
 .953 -.144  .079  .557  .549  .633  .722  .014
-.144  .958  .112  .494  .53   .607  .019  .711
 .079  .112  .966  .622  .633  .165  .684  .714
 .557  .494  .622  .948  .968  .815  .823  .777
 .549  .53   .633  .968  .989  .836  .826  .807
 .633  .607  .165  .815  .836  .949  .588  .558
 .722  .019  .684  .823  .826  .588 .955  .507
 .014  .711  .714  .777  .807  .558  .507  .949
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .018133132376307597
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .01386434611354488
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .052498240463983674



Statistik der Eigenwerte im 50% Fehlerspannweiten Versuch
 
Die Eigenwerte sind die 'Gene' und 'Herzstück' einer Korrelationsmatrix. Kennt man die Eigenwerte, weiß man alles Wesentliche über die Gesetz- und Regelhaftigkeiten der Korrelationsmatrix und wie viele Fast- Kollinearitäten, d.h. fast-funktionale Abhängigkeiten sie enthält, um so mehr, je mehr Eigenwerte 'nahe' 0 sich in der Korrelations- Matrix finden. Jede ForscherIn sollte daher bestrebt sein, Eigenwerte 'nahe' 0 aufzuspüren, Theorien, Modelle und Hypothesenprüfungen entwickeln, um diese Gesetzmäßigkeiten zu erklären. Nur FaktorenaanlytikerInnen interessieren sich anscheinend nicht nur nicht dafür, sie definieren und beschließen einfach wie numerologische Metaphysiker durch ein narzißtisches Orakel, daß so und so viele Eigenwerte per definitionem 0 gesetzt werden und dann meist auch "weggeworfen" werden, ein ganz absonderliches wissenschaftliches Gebaren. Dabei verkennen sie, daß die Korrelationmatrix zu den den zentriert-normierten Rohdaten in isometrischer Relation steht (Hain 1994, Kap. 6, S. 20, Satz 3.4), d.h. eine gewaltsame 0-Setzung ist einer Datenverfälschung äquivalent. Gewaltsam heißt hier, daß die Matrix nicht in ihrer empirischen Erscheinung von vorneherein Eigenwerte 'nahe' 0 enthält. 

 
Der Graph aller 30 Eigenwertverläufe 
bei der Fehlerspannweite von 50% (WW + - 25%) demonstriert eindrucksvoll, wie nahe alle 30 Eigenwertverläufe beieinanderliegen. Man kann die 30 Linien gar nicht richtig erkennen, so gering ist die Streuung. Dies zeigt auch klar, daß die üblichen Phantasien, Rationalisierungen und "Argumente" der FaktorenanalytikerInnen, wie sich zufällige Fehler in Eigenwertverläufen graphisch darstellen, wenigstens für den Typ Quader 8V3u5a falsch sind. Die beiden großen Flächen unter den beiden Knicken (2, 3) repräsentieren ganz unzweideutig die drei unabhängigen Variablen und die restlichen fünf (4,5,6,7,8) stehen für die linear abhängigen Variablen.

Mittelwert, Sigma, Max und Min der Eigenwerte der Serie:
Mit 5.0180  1.5280  1.1175  0.1317  0.1065  0.0752  0.0163  0.0068
Sig 0.0365  0.0256  0.0199  0.0092  0.0077  0.0072  0.0049  0.0032
Max 5.0740  1.5819  1.1756  0.1535  0.1200  0.0989  0.0313  0.0153
Min 4.9427  1.4718  1.0729  0.1160  0.0827  0.0655  0.0077  0.0011

Eigenwerte der Serie F50v1-30:
F50v01  5.0258  1.4985  1.1215  0.1232  0.1154  0.0788  0.0216  0.0153
F50v02  4.9427  1.5819  1.1257  0.1426  0.1066  0.0765  0.0155  0.0086
F50v03  4.9496  1.5355  1.1756  0.1338  0.1065  0.0716  0.0213  0.0061
F50v04  5.0107  1.5066  1.1085  0.1457  0.1200  0.0748  0.0263  0.0074
F50v05  5.0230  1.5093  1.1256  0.1367  0.1165  0.0705  0.0142  0.0042
F50v06  5.0268  1.5271  1.0984  0.1535  0.1088  0.0666  0.0125  0.0063
F50v07  5.0686  1.4798  1.1196  0.1322  0.1005  0.0741  0.0138  0.0114
F50v08  4.9841  1.5577  1.1198  0.1348  0.1124  0.0704  0.0190  0.0018
F50v09  4.9984  1.5693  1.1082  0.1252  0.1094  0.0698  0.0124  0.0072
F50v10  5.0661  1.5390  1.0729  0.1189  0.1081  0.0728  0.0168  0.0053
F50v11  4.9696  1.5169  1.1554  0.1238  0.1161  0.0989  0.0138  0.0055
F50v12  5.0588  1.4718  1.1461  0.1273  0.1009  0.0758  0.0159  0.0033
F50v13  4.9605  1.5555  1.1185  0.1301  0.1050  0.0863  0.0313  0.0129
F50v14  5.0084  1.5408  1.1122  0.1388  0.1108  0.0704  0.0131  0.0054
F50v15  5.0494  1.5495  1.0927  0.1385  0.0827  0.0704  0.0156  0.0011
F50v16  5.0315  1.5382  1.0962  0.1407  0.0932  0.0701  0.0185  0.0115
F50v17  4.9735  1.5424  1.1307  0.1361  0.1123  0.0787  0.0197  0.0065
F50v18  5.0599  1.4924  1.1142  0.1237  0.1025  0.0753  0.0208  0.0112
F50v19  5.0126  1.5357  1.1154  0.1302  0.1102  0.0776  0.0119  0.0064
F50v20  5.0381  1.5027  1.1388  0.1316  0.1080  0.0658  0.0116  0.0033
F50v21  5.0740  1.5008  1.1060  0.1420  0.0974  0.0655  0.0077  0.0068
F50v22  4.9992  1.5503  1.1254  0.1203  0.1100  0.0693  0.0153  0.0101
F50v23  4.9844  1.5566  1.1127  0.1181  0.1124  0.0887  0.0189  0.0083
F50v24  5.0215  1.5284  1.1150  0.1388  0.1027  0.0737  0.0116  0.0083
F50v25  5.0429  1.5164  1.1289  0.1241  0.0951  0.0768  0.0113  0.0046
F50v26  5.0283  1.5330  1.1024  0.1315  0.1025  0.0795  0.0163  0.0064
F50v27  5.0267  1.5153  1.1014  0.1433  0.1150  0.0795  0.0145  0.0042
F50v28  5.0462  1.5236  1.1131  0.1312  0.1028  0.0663  0.0126  0.0041
F50v29  5.0730  1.5146  1.0910  0.1160  0.1035  0.0765  0.0219  0.0035
F50v30  4.9851  1.5491  1.1329  0.1190  0.1083  0.0850  0.0138  0.0068

Abweichungen Eigenwerte der Serie F50v1-30 von den Wahre Wert Eigenwerten
 0.0227  0.0276  0.0150  0.0076  0.0149  0.0109  0.0165  0.0153
 0.1058  0.0558  0.0108  0.0270  0.0061  0.0086  0.0105  0.0086
 0.0989  0.0095  0.0391  0.0182  0.0061  0.0037  0.0162  0.0061
 0.0378  0.0195  0.0280  0.0301  0.0195  0.0069  0.0212  0.0074
 0.0254  0.0168  0.0109  0.0211  0.0161  0.0026  0.0092  0.0042
 0.0216  0.0011  0.0381  0.0379  0.0083  0.0013  0.0074  0.0063
 0.0202  0.0462  0.0168  0.0166  0.0000  0.0062  0.0087  0.0114
 0.0644  0.0317  0.0167  0.0192  0.0119  0.0025  0.0139  0.0018
 0.0500  0.0433  0.0282  0.0096  0.0090  0.0019  0.0073  0.0072
 0.0177  0.0129  0.0636  0.0033  0.0077  0.0049  0.0117  0.0053
 0.0789  0.0092  0.0190  0.0082  0.0156  0.0310  0.0088  0.0055
 0.0103  0.0543  0.0096  0.0117  0.0005  0.0079  0.0109  0.0033
 0.0880  0.0294  0.0179  0.0145  0.0045  0.0184  0.0263  0.0129
 0.0400  0.0148  0.0242  0.0232  0.0104  0.0025  0.0080  0.0054
 0.0010  0.0234  0.0437  0.0229  0.0178  0.0025  0.0105  0.0011
 0.0169  0.0122  0.0402  0.0251  0.0073  0.0022  0.0134  0.0115
 0.0750  0.0163  0.0057  0.0205  0.0119  0.0109  0.0146  0.0065
 0.0114  0.0337  0.0222  0.0081  0.0020  0.0074  0.0158  0.0112
 0.0358  0.0096  0.0211  0.0146  0.0097  0.0097  0.0068  0.0064
 0.0104  0.0233  0.0024  0.0160  0.0076  0.0021  0.0065  0.0033
 0.0255  0.0253  0.0305  0.0264  0.0031  0.0024  0.0026  0.0068
 0.0492  0.0243  0.0110  0.0047  0.0096  0.0014  0.0102  0.0101
 0.0640  0.0305  0.0237  0.0025  0.0119  0.0208  0.0138  0.0083
 0.0269  0.0023  0.0215  0.0232  0.0023  0.0058  0.0065  0.0083
 0.0056  0.0097  0.0076  0.0085  0.0054  0.0089  0.0062  0.0046
 0.0201  0.0070  0.0340  0.0159  0.0021  0.0116  0.0112  0.0064
 0.0217  0.0108  0.0351  0.0277  0.0146  0.0116  0.0094  0.0042
 0.0022  0.0024  0.0234  0.0156  0.0023  0.0016  0.0075  0.0041
 0.0245  0.0115  0.0455  0.0004  0.0030  0.0086  0.0169  0.0035
 0.0633  0.0230  0.0036  0.0034  0.0079  0.0171  0.0087  0.0068

Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .016621303435517882
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .016654415320888875
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .1057577637385599


Zusammenfassung/ Abstract Ergebnisse F50v1...30
 
Völlig überraschend, entgegen dem gesunden Menschenverstand und vernünftiger Erwartung, ergibt die Versuchsserie mit 50% Fehlerspannweite (WW + - 25%)  eine ziemlich gute Reproduzierbarkeit der jeweiligen Ursprungsmatrizen. Dies widerlegt faktorenanalytische Rationalisierungen und Legenden von der Fehlerwirkung, wonach Eigenwerte kleiner 1 sozusagen als "zufallsbedingt" vernachlässigt werden können. In dieser Deutung steckt sogar ein Doppelfehler. Kleine Eigenwerte sind nicht etwa eine Folge zufälliger Einflüsse, sondern Eigenwerte 'nahe' 0 bedeuten eine gesetzesartige Beziehung vom Typ lineare Abhängigkeit, sind also das genaue Gegenteil von "Zufällen" wie diese Versuchsserie auch beweist. Zweitens zeigen die Ergebnisse bislang völlig überraschend, daß zufällige Fehler bis um die Größenordnung von sage und schreibe 100% sich nicht besonders nennenswert auf die Eigenwert- und Faktorenstruktur auswirken [Warnung]. Faktorenanalytische Fehlerphantasien, wie sie auch um den sog. Screetest ranken, sind daher nicht besser als psychoanalytische Phantastereien, sie tragen nur für viele methodisch nicht so Versierte eine schwer angreifbare szientistische Verkleidung [hierzu Glosse und ein bissiger Wissenschaftspolitischer Kommentar]. 


Cooley, W.W. & Lohnes, P.R. (1971). Multivariate Data Analysis. New York: Wiley.
___
Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]
Aktueller Preis: http://ww.iec-verlag.de
___
Man kann die numerische Stabilität einer Korrelationsmatrix erhöhen, wenn man die Diagonalelemente numerisch größer macht. Diese Methode stammt von TIKHONOV, heißt auch Regularisierungs- oder Ridge-Methode. Siehe Sponsel (1994, Kap. 5, S. 08-10) mit Beispielen.


Querverweise
zur methodischen Umgebung dieser Untersuchung:
Standort: Versuch q50.
*
Überblicks- und Verteilerseite zu diesen Versuchen
Vorläufige Hauptergebnisse und Statistik der Eigenwertanalysen
Einführung und Überblick. Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse
Was für ein Typ Matrix entsteht durch Faktorenanalysen?
Überblicks- und Verteilerseite: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie
Glosse zum numerologischen Szientismus in der Psychologie
Bissiger Wissenschaftspolitischer Kommentar gegen den numerologischen Szientismus in der Psychologie
*
Dienstleistungs-Info.
*



Zitierung
Sponsel, Rudolf  (DAS). 30 Versuche mit zufällig normalverteilter Fehlerspannweite von 50% bezüglich der definierten wahren Werte des Quaders zur explorativen Untersuchung des Verhaltens der Eigenwerte und Faktoren.  IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/fa/quader/q50.htm
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