Internet Publikation  für Allgemeine und Integrative Psychotherapie
(ISSN 1430-6972)
IP-GIPT DAS=05.11.2002 Internet-Erstausgabe, letzte Änderung: 14.05.15
Impressum Diplom-PsychologInnen Irmgard Rathsmann-Sponsel und Dr. phil. Rudolf Sponsel
Stubenlohstr. 20     D-91052 Erlangen * Mail: sekretariat@sgipt.org

Anfang_ q01 _ Überblick  _ Relativ Aktuelles  _ Rel. Beständiges  _ Titelblatt  _ Konzept  Archiv  _ Region _ Service iec-verlag _  _ Zitierung & Copyright___Wichtige Hinweise zu Links und Empfehlungen

Willkommen in der Abteilung Wissenschaftstheorie, Methodologie und Statistisch-Mathematische Methoden in der Allgemeinen und Integrativen Psychologie, Psychodiagnostik und Psychotherapie, hier:

Die ersten 30 der 1500 Versuche mit zufällig normalverteilter Fehlerspannweite von 1% bezüglich der definierten wahren Werte des Quaders zur explorativen Untersuchung des Verhaltens der Eigenwerte und Faktoren

Materialien und Dokumente zur Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse.

von Rudolf Sponsel, Erlangen
Überblicks- und Verteilerseite zu diesen Versuchen



Beschreibung dieser Versuchsserie: Was wurde gemacht ?

Ausgehend von den wahren Werten der Ausgangsbasis wurden für jeden der 800 Werte  - 100 Quader- 'ProbandInnen' mit insgesamt 8, davon drei unabhängigen und 5 linear abhängigen Variablen - mit dem Zufallsgenerator von Jörn Wilms zufällig normalverteilte Fehlerwerte für die Fehlerspannweite WW +- 0,5% für die 30 verschiedenen Ziehungen erzeugt aus denen eine Versuchsserie besteht. Dann wurden die 30 Produkt-Moment-Korrelationsmatrizen berechnet. Anschließend wurden die 30 Korrelationsmatrizen einer Standardmatrix-Analyse (Sponsel 1994) unterzogen und hierbei die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Hieraus wurden die Faktoren nach Cooley & Lohnes der Hauptkomponentenmethode berechnet. Sofern kollinearitäts- und rundungsbedingt 'kleine' negative Eigenwerte auftraten, wurden diese 0 gesetzt. Anschließend wurden aus den Faktoren, einmal aus allen 8, einmal aus den ersten 3 Faktoren Reproduktionsmatrizen erstellt und die Mittelwerte und Standardabweichungen der Abweichungen nach einer Residualanalysemethode von der Originalkorrelationsmatrix auf der Basis 17stelliger Genauigkeit berechnet. Wie die Mathematik erwarten läßt, gelingt die Reproduktion der Originalkorrelationsmatrix mit allen 8 Faktoren fast - weil zwei negative Eigenwerte 0 gesetzt wurden - vollständig und die aus den ersten drei Faktoren in Abhängigkeit von der Fehlerspanne nur mehr oder minder angenähert. Sinn dieser 1500 Eigenwert-, Faktoren- und Residualanalysen ist, Aufschlüsse darüber zu erhalten, wie sich die Eigenwerte, Faktorenanalysen und Reproduktionsgüten in Abhängigkeit von den Fehlerspannweiten verhalten und entwickeln. Es wurde bewußt ein Quader gewählt, weil dieser unserer dreidimensionalen Anschauung sehr zugänglich ist und weil wir jeden Wert und jede Veränderung ganz genau kennen und dokumentieren können.

Anmerkung 5.11.2, 17.30: Die unten folgenden Vermutungen sind vermutlich ;-) falsch
Zu meiner großen Überraschung ändert sich die Eigenwertstruktur und die Reproduktionsgüte auch bei Vorgabe zufällig normalverteilter Fehlerspannen um selbst sage und schreibe 50% nur wenig (siehe bitte Anlage). Das hieße: Eigenwertstruktur und Reproduktionsgüte sind bis zu 50% Fehlerspannweiten weitgehend invariant. Die großen Eigenwerte werden zwar etwas kleiner und die kleinen ein bißchen größer, aber zu meiner völligen Überraschung nur ziemlich wenig. Und an der Reproduktionsgüte ändert sich auch nichts.
Anmerkung 7.11.2: Wenn es stimmen würde, daß sich die Korrelationsmatrix,- Eigenwertstruktur und damit die Reproduktionsgüte durch drei Faktoren bei zufällig normalverteilten Fehlerspannen selbst bis zu 100% in den Rohdaten kaum ändert, wäre dies eine kleine methodische Sensation. Bedeutete es doch, daß bei solchen Rohdaten- und Matrizen-Strukturen vom Typ Quader eine einzige Erhebung, also ein Stichprobenumfang von N=1 genügte. Die empirische Sozialforschung hätte ein einfaches und mächtiges Instrument, gesetzesartige Beziehungen in Datenstrukturen aufzuspüren: Eigenwerte 'nahe' 0, die von individuellen Fehlern, sofern diese sich zufällig normal verteilen und die Stichprobe entsprechend groß ist, weitgehend unabhängig wäre. Wenn es stimmen würde ...

Vermutungen
(1a) Mit zunehmenden zufällig normalverteilten Fehlern um die wahren Werte herum werden in den Korrelationsmatrizen die größten Eigenwerte kleiner und (1b) die kleinsten Eigenwerte größer werden, sich also aufeinander zu bewegen. (1c) Der Graph der Eigenwertverläufe nähernd sich einer Geraden von links oben nach rechts unten, die mit zunehmenden Zufallswerten sich immer mehr in Richtung einer Waagrechten (Einheitsmatrix) dreht und nähert. (2) Die Reproduktionsgüte der aus drei Faktoren rückgerechneten Korrelationsmatrizen wird mit zunehmenden zufällig normalverteilten Fehlern immer schlechter und nimmt kontinuierlich ab. 

Fragen:
Gibt es Deutungsregeln - relativ zu bestimmten Fehlerannahmen - für die Anzahl von Faktoren, die eine Korrelationsmatrix erzeugen können? Was läßt sich aus diesem Versuch ableiten, falls sich die Vermutungen bestätigen? Entsprechen die Vermutungen, falls sie sich bestätigen, schon existierenden Sätzen oder lassen sich solche beweisen? Welche Folgerungen ergeben sich für die Praxis der Faktorenanalysen (Hauptkomponentenmethode) aus dem Versuch 'Typ Quader'?


Vollständiges Beispiel aus dieser Versuchsserie, hier F01v15

Hier die Roh- bzw. Urdatenliste des 15. von 30 Versuchen mit einer zufällig normalverteilten Fehlerspanne von 1% bezüglich der "wahrenWert"-Basisdaten:

Urdatenliste des Beispiels

 i\j: 1       2       3       4       5       6       7       8
 1    1.002   94.261  62.105  5807.3  11958   94      62      5826.3
 2    2       64.8    70.9    9235.9  9777.2  130.38  141.88  4606.7
 3    3       19      39.1    2217.2  1823.5  56.9    117.03  741.71
 4    4.01    70.21   92.02   25812   14159   279.97  369.36  6453.9
 5    5       84.8    8       3404.8  2289.6  424.91  39.98   679
 6    6.01    97.38   72.94   42379   16185   581.63  438.6   7088.5
 7    7       46.1    45      14478   5423.8  323     314.78  2063.8
 8    8       19      75.1    11394   4356.3  151.98  601.38  1425.1
 9    9       13      85.9    10067   4010.3  116.97  772.67  1118
 10   10      58.3    39      22605   6459    580.63  390.29  2261.3
 11   11      13      71      10145   3695    142.94  780.37  923.43
 12   12      1       59.02   707.72  1555.3  12      707.99  59.05
 13   12.98   41      72.96   38849   8970.2  532.58  948.97  2994.9
 14   14      32      20      8941.6  2744.5  448.61  279.71  641.03
 15   14.99   82.11   34.07   41857   9041.1  1229.2  510.32  2782.9
 16   16      19      29.1    8807.4  2637.1  303.62  464.96  549.52
 17   17.03   97.03   56.89   94073   16276   1651.5  969.31  5527
 18   18      72      53      68629   12139   1297.2  953.76  3815.4
 19   19      87.2    43.1    71214   12405   1651.8  816.77  3744.3
 20   20      78.9    37.9    60190   10673   1578.4  761.71  2995.3
 21   21      54      48.9    55571   9634.6  1132.3  1026.9  2648.5
 22   22      82      19      34284   7564.9  1800.9  417.39  1558.7
 23   23      40      55      50636   8741.9  918.89  1262.8  2201.4
 24   24.1    74      73      129627  17839   1771.3  1751.4  5402.2
 25   24.9    78.8    49.9    98780   14319   1975.5  1249.6  3949
 26   26.1    80      40.1    83340   12650   2081.6  1039.2  3202.1
 27   27      46      2       2478.3  2772.3  1243.8  54.1    92
 28   28.1    53.2    42      62373   9793.2  1485.4  1174.5  2228.1
 29   29      32      52.1    48191   8229.2  927.31  1506.7  1662.5
 30   30.1    36      80      86524   12681   1081    2400.3  2879.3
 31   31      78      79      190572  22048   2415.4  2450.5  6172.5
 32   32.1    63.9    68      139546  17134   2052.2  2174.6  4348.4
 33   33      44      12      17401   4753.2  1452.9  396.44  526.3
 34   34.01   59.86   66.99   136720  16675   2046    2275.8  4021.5
 35   34.9    6       90.8    19112   7874.6  209.92  3186.5  544.8
 36   36.15   58.05   26.05   54328   9045.5  2083.4  936.15  1509.4
 37   37      92.1    27      91955   13780   3401.3  999.79  2484.4
 38   38      16      25      15173   3921.2  608.92  951.68  399.9
 39   38.97   71.92   9.01    25254   7594.7  2801.3  351.23  648.97
 40   40.04   66.85   48.03   128940  15669   2678.4  1919    3220
 41   41.1    51.9    31      66038   10009   2127.4  1270.5  1611.8
 42   42      34      46.1    65603   9827.8  1430.1  1931    1562.9
 43   43      15      6       3874.2  1986.1  643.22  258.32  90.08
 44   44.02   75.92   14.01   46792   10042   3347    617.43  1064.7
 45   45      95.2    99.9    427292  36522   4285.2  4498.1  9490.2
 46   46      97.9    74.9    338186  30631   4507.1  3444    7337.5
 47   47      74.9    40      141067  16783   3520.5  1878.7  2999.8
 48   47.9    25      20.9    25144   5458.2  1197.1  1009.6  525.53
 49   49.05   46.93   37.91   87474   11911   2292    1862.3  1789.2
 50   50.1    90.7    12      54668   12467   4554.9  601.08  1089
 51   51      83.9    85      364668  31535   4291.3  4342.1  7138
 52   51.9    49      53.9    137560  16036   2553    2813.5  2643.1
 53   53      92.1    20      97545   15539   4881.7  1059.8  1833.9
 54   53.9    43.1    8       18506   6180.7  2324.1  431.56  344.45
 55   54.97   96.16   67.97   358028  31181   5280.3  3736.2  6533.4
 56   55.9    86.8    64      312586  28129   4853.2  3587.3  5572.9
 57   57.2    64      66.9    244128  23495   3652.3  3830.1  4293.5
 58   57.9    98.2    84      476863  37485   5696.7  4876.7  8212
 59   59      90.2    25      132714  18054   5308    1474.9  2257.2
 60   60      9       12      6474.6  2739.7  540.14  719.71  107.83
 61   61.04   36      64.25   140295  16778   2202    3900    2300.3
 62   61.8    55      26.1    88588   12905   3411.7  1614.3  1435.6
 63   63      82.9    22      115216  16920   5239.9  1386.9  1826.7
 64   64.1    60.1    89.1    341717  29829   3846.8  5695.6  5330.9
 65   64.9    54      23      80869   12486   3508.5  1494.8  1242.5
 66   65.9    36      38      90163   12504   2371.4  2513.9  1371.8
 67   66.8    13      19.9    17420   4947.3  873.86  1340.3  261.05
 68   68.13   77.91   68.87   366218  30667   5297.2  4691.9  5383.1
 69   69      80.2    83.9    465109  36051   5540.8  5792.6  6725
 70   70.1    46      45      144616  16850   3224.8  3155    2075.4
 71   70.9    38      81.8    220980  23282   2696    5851.7  3115.8
 72   72.1    4       69      19868   11057   288.53  4985.8  275.49
 73   73.12   52.16   38.02   144392  17083   3784.6  2767.8  1975.8
 74   73.9    60.8    66.9    302510  27046   4501.4  4950.5  4083.9
 75   75.1    81.8    96      590505  42516   6151.2  7227.3  7890.8
 76   75.8    7       94.9    50512   16819   531.24  7221.7  663.89
 77   76.77   78.93   46.12   280432  26476   6082.3  3538.2  3625.6
 78   77.9    12      21      19617   5654.4  934.68  1639.1  251.86
 79   78.81   40      99.99   316493  30173   3163.6  7886.5  3997.5
 80   80.1    51      100.13  406431  34264   4082.6  8014.4  5095.8
 81   80.8    4       23      7432.8  4551.3  323.92  1868.2  92.1
 82   82.2    56      51.9    239026  23526   4581.4  4268.8  2912.1
 83   82.8    79.1    97.9    643793  44892   6578.4  8142.2  7727.7
 84   83.8    75.1    60      377556  31700   6301.5  5037    4502.6
 85   85.2    3       17      4337.9  3495.4  254.42  1445.2  51.1
 86   86      72      32      198185  22461   6194.7  2738    2311.7
 87   86.9    95.9    41      341718  31779   8340.5  3565.5  3950.4
 88   87.8    31      77.2    209874  23750   2727.5  6754.6  2383.2
 89   89      64.9    13      75375   15595   5774.5  1156.6  847.06
 90   89.91   41.98   92.9    350988  32152   3771    8375.6  3901.6
 91   90.8    54.2    69      338937  29842   4936.6  6278.7  3719.1
 92   91.9    9       2       1655.5  2066.8  828.14  184.53  18.05
 93   93.15   52.8    98.75   487695  38894   4920.9  9222.9  5238
 94   94      24      23      51729   9931.7  2258.5  2165.5  552.32
 95   95.24   46.94   24.99   111586  15983   4476.2  2372.3  1176.4
 96   96.4    1       59      5668.7  11672   96      5646.9  58.9
 97   97.2    97.2    85      798026  51605   9436.7  8254.1  8241.1
 98   98.2    92.1    64.8    586018  42723   8983    6383.5  5963.7
 99   98.9    27     72      192732  23528   2669.3  7143.8  1946.4
 100  99.7    46.8    83.6    395614  34236   4693.8  8371.4  3947

[Interne Quellen: 30.10.2002 fuer Batchbetrieb Kor fuer Quaderversuch
Daten von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\URDAT\BASIS\QF01\QF01v15
Dateiname = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\URDAT\BASIS\QF01v15\KOR\QF01v15.DAN
Korrelation in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\URDAT\BASIS\QF01v15\KOR\.d08
Auswertung vom 11/03/02 19:20:20]



Standard-Matrixanalyse der Korrelationsmatrix dieses Beispiels F01v15
 
Abstract/ Zusammenfassung Analyse Korrelationsmatrix für 1% Fehlerspanne 
Die Korrelationsmatrix ist kollinearitäts- und rundungsbedingt indefinit und produziert zwei negative Eigenwerte, die, falls man die Matrix so belassen würde, bei multivariater Weiterverarbeitung zu extremen Entgleisungen führen kann und hier auch führt. 
Man wird nach der Konstruktion des Beispiels bei nur einem Prozent Fehler drei konstituierend erschöpfende Faktoren erwarten, aus denen sich die ursprüngliche Korrelationsmatrix noch gut reproduzieren lassen sollte. Die ersten drei Eigenwerte schöpfen in der Tat 96,99% der Spur aus. Das heißt praktisch, daß für den Typ Quader bei drei unabhängigen und fünf abhängigen Variablen 1% zufällig normalverteilte Fehlerstreuung der 800 einzelnen Werte die Reproduktionsgüte der Originalmatrix kaum beeinträchtigt.

Samp _Ord_ MD_ NumS_ Condition_ Determinant_ HaInRatio_ R_OutIn_ K_Norm_ C_Norm
100    8   0    --2   1023.7      2.53D-7    3.87D -9   41143    .004(2)  -1(-1)
 
Informationen zur Matrixanalyse: Numerische Laien hier  und   Professionell Interessierte hier     Weitere Querverweise

**********    Summary of standard correlation matrix analysis   ***********
File = QF01v15.d08   N-order= 8   N-sample= 100  Rank= 8   Missing data =  0
Positiv Definit=Cholesky successful________= No with  2 negat. eigenvalue/s
HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    5.0893332885406001
LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____=    4.9713182102527299D-3
CON: Condition number HEVA/LEVA___________~=    1023.7391921612418
DET: Determinant original matrix (OMIKRON)_=    2.5265761423995924D-7
DET: Determinant (CHOLESKY-Diagonal^2)_____=   -999 (not positive definit)
DET: Determinant (PESO-CHOLESKY)___________=   -999 (not positive definit)
DET: Determinant (product eigenvalues)_____=    2.5265761423995954D-7
DET: Determ.abs.val.(PESO prod.red.norms)__=    2.5265761423995924D-7
HAC: HADAMARD condition number_____________=    1.5505738638769905D-9
HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=    2.4679880986735238D-10
D_I: Determinant Inverse absolute value____=    3957925
HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<=    1.020414242002718D+15
HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=    3.878743828731901D-9
There are only negative inverse diagonal values (extremely pathological)
 Maximum range (upp-low) multip-r( 7.rest)_=    .1
LES: Numerical stability analysis:
 Ratio maximum range output / input _______=    41142.886025022914
PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    4.043D-3 (<-> Angle = .23 )
Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    2
PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ = (Not positiv definit)

Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min   m|c|   M|c|   N_comp    s-S   S-S
  64    39.4     5.44    1    -.098   .561   .266   378      .301  .237

 class boundaries and distribution of the correlation coefficients
 -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
    0    0    0    0    2    8    2    14   18   20

Original data with  17, input read with  17, computet with 19,
 and showed with  3 digit accuracy
(for control here the analysed original matrix):

 1    -.098  .1    .552  .567  .633  .722  .053
-.098  1     .122  .479  .542  .614  .057  .713
 .1    .122  1     .605  .662  .21   .703  .705
 .552  .479  .605  1     .981  .844  .823  .778
 .567  .542  .662  .981  1     .849  .848  .819
 .633  .614  .21   .844  .849  1     .586  .546
 .722  .057  .703  .823  .848  .586  1     .488
 .053  .713  .705  .778  .819  .546  .488  1

 i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
  1.  5.08933   1         2.  1.53198   .9952       3.  1.13752  .9861
  4.  .10671    .4153    5.  .09098   -.0108       6.  .05854  -.6484
  7. -4.97D-3  -1.0029    8. -.01008   -1.1288
 The matrix is not positive definit. Cholesky decomposition is not success-

 Eigenwerte in Prozentanteilen von der Spur =  8
  1  .6362  2  .1915  3  .1422  4  .0133  5  .0114  6  7.3D-3
  7 -6D-4   8 -1.3D-3

[Intern: analysed: 11/03/02 21:38:40  PRG version 30.10.2002 MABAT9q.BAS
File = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\QF01v15.SMA
 with data from C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\QF01v15.d08]


Die drei Hauptfaktoren und Rückrechnung der Reproduktionsmatrix dieses Beispiels F01v15 mit Residualanalysen zur Original-Korrelationmatrix mit aus allen 8 und 3-Faktoren rückgerechneten Koeffizienten

Kleine negative Eigenwerte wurden 0 gesetzt. Diese Veränderung führt in einigen Fällen auch zu etwas größeren Diagonalwerten 8Maximum 1.007 - was die numerische Stabilität erhöht).

Matrix F01v15 der 8 Faktoren nach VEK * EIW^1/2:
 .564 -.739 -.311 -.171  .077 -.062  0     0
 .534  .724 -.397 -.138 -.113  .043  0     0
 .665  .069  .728 -.012 -.097 -.119  0     0
 .976 -.03  -.028  .178  .09   .082  0     0
 1.004 2D-3 -8D-3 -3D-3 -1D-3  7D-3  0     0
 .841 -.031 -.505  .133 -.081 -.114  0     0
 .844 -.445  .242 -.051 -.11   .136  0     0
 .815  .507  .196 -.077  .19  -.019  0     0

Transponierte der 8 Faktoren:
 .564  .534  .665  .976  1.004 .841  .844  .815
-.739  .724  .069 -.03   2D-3 -.031 -.445  .507
-.311 -.397  .728 -.028 -8D-3 -.505  .242  .196
-.171 -.138 -.012  .178 -3D-3  .133 -.051 -.077
 .077 -.113 -.097  .09  -1D-3 -.081 -.11   .19
-.062  .043 -.119  .082  7D-3 -.114  .136 -.019
 0     0     0     0     0     0     0     0
 0     0     0     0     0     0     0     0

Reproduktionsmatrix F01v15 aus allen 8 Faktoren:
 1    -.098  .1    .553  .567  .633  .721  .053
-.098  1.001 .123  .48   .541  .613  .057  .712
 .1    .123      .606  .662  .21   .702  .704
 .553  .48   .606 1.002  .98   .844  .822  .777
 .567  .541  .662  .98   1.007 .847  .845  .817
 .633  .613  .21   .844  .847 1.001  .588  .547
 .721  .057  .702  .822  .845  .588 1.002  .489
 .053  .712  .704  .777  .817  .547  .489  1.002

Residualanalyse Original-Korrelationen und aus 8 Faktoren reproduzierte:
 0     0     0     1D-3  1D-3  0     0     0
 0     1D-3  1D-3  1D-3  1D-3  0     0     1D-3
 0     1D-3  0     1D-3  1D-3  0     0     0
 1D-3  1D-3  1D-3  2D-3  1D-3  1D-3  1D-3  1D-3
 1D-3  1D-3  1D-3  1D-3  7D-3  2D-3  2D-3  2D-3
 0     0     0     1D-3  2D-3  1D-3  2D-3  1D-3
 0     0     0     1D-3  2D-3  2D-3  2D-3  2D-3
 0     1D-3  0     1D-3  2D-3  1D-3  2D-3  2D-3

Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  0.0010059539771319653
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  0.00098124697123848234
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  0.0074001597588552064

Reproduktionsmatrix F01v15 aus 3 Faktoren:
 .961 -.11   .098  .581  .567  .655  .729  .024
-.11   .967  .116  .511  .54  .628  .032  .724
 .098  .116  .977  .627  .662  .19   .707  .719
 .581  .511  .627  .955  .98   .837  .83   .775
 .567  .54   .662  .98   1.007 .848  .844  .817
 .655  .628  .19   .837  .848 .964  .601  .571
 .729  .032  .707  .83   .844  .601  .969  .509
 .024  .724  .719  .775  .817  .571  .509  .959

Residualanalyse Original-Korrelationen und aus 3 Faktoren reproduzierte F01v15 :
 .039  .012  2D-3  .03   0     .022  8D-3  .029
 .012  .033  7D-3  .032  1D-3  .014  .026  .011
 2D-3  7D-3  .023  .021  0     .02   4D-3  .015
 .03   .032  .021  .045  1D-3  8D-3  7D-3  3D-3
 0     1D-3  0     1D-3  7D-3  1D-3  4D-3  2D-3
 .022  .014  .02   8D-3  1D-3 .036  .015  .025
 8D-3  .026  4D-3  7D-3  4D-3  .015 .031  .021
 .029  .011  .015  3D-3  2D-3  .025  .021  .041

Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .01464755082576522
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012174247662280004
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045260272791781692

Summary/Abstract/Zusammenfassung der Rückrechnung des Beispiels F01v15
 
Die Matrix ist kollinearitäts- und rundungsfehler bedingt nicht positiv semi-definit, sondern indefinit, enthält also negative Eigenwerte, die bei der Rückrechnung 0 gesetzt werden, weil nach der von Cooley und Lohnes beschriebenen Methode - und wie es auch für positiv semidefinite symmetrische Korrelationsmatrizen gilt - keine Wurzeln aus negativen Eigenwerten gezogen werden können. Somit muß die Matrix zunächst in Ordnung  gebracht, d.h. die negativen Eigenwerte beseitigt werden. Bei kleinen Eigenwerten und für den Forschungszweck hier genügt es, die negativen Eigenwerte 0 zu setzen. Das ist für Faktorenanalysen nach der Hauptkomponentenmethode auch notwendig, weil sich sonst die Faktoren gar nicht berechnen lassen. 0-Setzen der negativen Eigenwerte hat hier, wie man sieht, nicht unerhebliche numerische Auswirkungen. Einige Diagonalwerte haben Werte über 1 (was die numerische Stabilität gewöhnlich erhöht). Die Reduktion auf drei Faktoren ist nach dem Quadermodell mit den drei unabhängigen Parametern Länge, Breite und Höhe klar und wird durch die Rückrechnung konstruktionsbedingt erwartungsgemäß auch bestätigt. Der 1%ige konstruierte und zufällig normal verteilte Fehler hat auf die Reproduktionsgüte keine nennenswerten Auswirkungen. Eine Übersicht der Ergebnisse für die Reproduktionsgüte bei den 30 Versuchen erfolgt unten.

[Interne Quellen: Faktoren in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\FAK\QF01v15.PFA
als 1-zeiliger Spaltenvektor in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\FAK\QF01v15.FAK
Vektordaten von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\QF01v15.VEK
Negative Eigenwerte wurden 0 gesetzt:
Eigenwerte von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\QF\QF01v15\QF01v15.EDI]


Reproduktionen der Originalkorrelationsmatrix aus den drei konstituierenden Faktoren des Quaders

Bemerkung: Kleine negative Eigenwerte - eine Folge der Kollinearität im Zusammenhang mit Rundungsfehlern - wurden 0 gesetzt, sonst wäre die Haupkomponentenmethode weder regulär noch durchführbar gewesen. Auf kompliziertere "Therapien" der neativen Eigenwerte wurde hier verzichtet. Zur Methode der Residualbestimmung

Reproduktionsmatrix F01v01 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .957 -.111  .097  .576  .562  .65   .725  .021
-.111  .962  .111  .507  .536  .624  .03   .718
 .097  .111  .973  .622  .657  .186  .703  .715
 .576  .507  .622  .947  .972  .83   .823  .768
 .562  .536  .657  .972  .999  .841  .837  .81
 .65   .624  .186  .830  .841 .958  .595  .565
 .725  .03   .703  .823  .837  .595  .962  .504
 .021  .718  .715  .768  .81   .565  .504  .953
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .01589774069535565
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .013680463182332531
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .052973513478267075

Reproduktionsmatrix F01v02 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.108  .099  .582  .567  .655  .73   .025
-.108  .967  .115  .511  .541  .629  .032  .724
 .099  .115  .977  .627  .663  .19   .707  .72
 .582  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .541  .663  .98   1.007 .848  .844  .818
 .655  .629  .190  .836  .848  .964  .601  .571
 .73   .032  .707  .83   .844  .601  .969  .509
 .025  .724  .72   .775  .818  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014643298217053267
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012158470803040904
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045364889594035219

Reproduktionsmatrix F01v03 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.111  .098  .581  .566  .654  .729  .024
-.111  .967  .115  .511  .541  .627  .032  .723
 .098  .115  .977  .627  .663 .19   .707  .719
 .581  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .566  .541  .663  .98   1.007 .848  .843  .818
 .654  .627  .190  .836  .848  .964  .601  .571
 .729  .032  .707  .83   .843  .601  .969  .51
 .024  .723  .719  .775  .818  .571  .51   .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014685368816139805
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012196328870239586
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045484651993755707

Reproduktionsmatrix F01v04 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.109  .099  .581  .567  .655  .73   .024
-.109  .967  .115  .511  .541  .628  .032  .723
 .099  .115  .977  .628  .663  .191  .707  .72
 .581  .511  .628  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .541  .663  .98   1.007 .848  .844  .818
 .655  .628  .191  .836  .848  .964  .601  .571
 .73   .032  .707  .83   .844  .601  .969  .509
 .024  .723  .72   .775  .818  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014654810621446411
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012174962740053994
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045458335693507443

Reproduktionsmatrix  F01v05 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .099  .581  .567  .655  .729  .023
-.11   .966  .114  .51   .54   .628  .031  .723
 .099  .114  .977  .627  .663  .19   .708  .719
 .581  .51   .627  .955  .98   .836  .829  .775
 .567  .54   .663  .98   1.007 .848  .843  .817
 .655  .628  .190  .836  .848  .964  .600  .570
 .729  .031  .708  .829  .843  .600 .968  .509
 .023  .723  .719  .775  .817  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014698090716662083
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012193022510336063
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045438928071815814

Reproduktionsmatrix  F01v06 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .961 -.111  .099  .581  .566  .654  .73   .024
-.111  .966  .115  .511  .541  .628  .031  .723
 .099  .115  .977  .627  .662  .19   .707  .72
 .581  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .566  .541  .662  .98   1.007 .848  .843  .818
 .654  .628  .19   .836  .848 .964  .6    .57
 .73   .031  .707  .83   .843  .6    .968  .509
 .024  .723  .72   .775  .818  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014709094347904534
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012212463863763782
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045344884825475225

Reproduktionsmatrix F01v07 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.111  .099  .581  .566  .654  .73   .024
-.111  .966  .114  .51   .54   .628  .031  .723
 .099  .114  .977  .627  .662  .19   .707  .719
 .581  .51   .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .566  .54   .662  .98   1.007 .848  .843  .817
 .654  .628  .19   .836  .848 .964  .601  .57
 .73   .031  .707  .83   .843  .601  .969  .509
 .024  .723  .719  .775  .817  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014683460966685695
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012200092353692947
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .04519599103854392

Reproduktionsmatrix F01v08 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .098  .58   .566  .654  .729  .023
-.11   .966  .115  .511  .54   .628  .032  .723
 .098  .115  .977  .627  .663  .19   .707  .72
 .58   .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .566  .54   .663  .98   1.007 .848  .844  .818
 .654  .628  .19   .836  .848 .964  .601  .57
 .729  .032  .707  .83   .844  .601  .969  .509
 .023  .723  .72   .775  .818  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014689242938650962
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012202389248656606
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045486714700507218

Reproduktionsmatrix F01v09 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .961 -.11   .098  .581  .566  .654  .729  .023
-.11   .967  .115  .511  .541  .628  .032  .724
 .098  .115  .977  .627  .663  .19   .707  .719
 .581  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .774
 .566  .541  .663  .98   1.007 .848  .844  .817
 .654  .628  .19   .836  .848 .964  .601  .57
 .729  .032  .707  .83   .844  .601  .968  .509
 .023  .724  .719  .774  .817  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014688437855688297
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012216815699217692
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045463609752691607

Reproduktionsmatrix F01v10 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .099  .581  .566  .654  .73   .024
-.11   .966  .115  .511  .541  .628  .031  .723
 .099  .115  .977  .627  .663  .19   .707  .72
 .581  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .566  .541  .663  .98   1.007 .848  .843  .818
 .654  .628  .19   .836  .848 .964  .601  .571
 .73   .031  .707  .83   .843  .601  .968  .509
 .024  .723  .72   .775  .818  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014688264162048481
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012194338576653615
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045278228304989434

Reproduktionsmatrix F01v11 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .961 -.11   .1    .581  .567  .654  .73   .024
-.11   .967  .116  .511  .541  .628  .032  .723
 .1    .116  .977  .628  .663  .19   .708  .72
 .581  .511  .628  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .541  .663  .98   1.007 .848  .844  .817
 .654  .628  .190  .836  .848  .964  .600  .570
 .73   .032  .708  .83   .844  .6    .969  .509
 .024  .723  .72   .775  .817  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014676994359495645
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012200609995707886
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045380966642959496

Reproduktionsmatrix F01v12 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.109  .099  .582  .567  .655  .73   .025
-.109  .967  .115  .511  .541  .628  .032  .723
 .099  .115  .977  .627  .662  .19   .707  .72
 .582  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .541  .662  .980 1.007 .848  .843  .817
 .655  .628  .190  .836  .848  .964  .600  .571
 .73   .032  .707  .83   .843  .6    .968  .509
 .025  .723  .72   .775  .817  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014650699980989179
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012183509693668288
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045358594304564557

Reproduktionsmatrix F01v13 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.109  .1    .582  .568  .655  .73   .025
-.109  .967  .115  .512  .541  .629  .032  .724
 .1    .115  .977  .627  .662  .19   .708  .719
 .582  .512  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .568  .541  .662  .98   1.007 .848  .844  .817
 .655  .629  .190  .836  .848  .964  .601  .571
 .73   .032  .708  .83   .844  .601  .969  .509
 .025  .724  .719  .775  .817  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014633326768451333
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012162824549033173
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045305799367242716

Reproduktionsmatrix F01v14 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.109  .099  .581  .566  .654  .729  .023
-.109  .966  .114  .511  .54   .628  .031  .723
 .099  .114  .977  .628  .663  .191  .708  .72
 .581  .511  .628  .954  .98   .836  .83   .774
 .566  .54   .663  .98   1.007 .848  .843  .817
 .654  .628  .191  .836  .848  .964  .600  .570
 .729  .031  .708  .83   .843  .6    .968  .508
 .023  .723  .72   .774  .817  .57   .508  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014681151885433884
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012225338916371458
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045567217240725023

Reproduktionsmatrix F01v15 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
Dieser Versuch ist oben vollständig dokumentiert.
.961 -.11   .098  .581  .567  .655  .729  .024
-.11   .967  .116  .511  .54   .628  .032  .724
 .098  .116  .977  .627  .662  .19   .707  .719
 .581  .511  .627  .955  .98   .837  .83   .775
 .567  .54   .662  .98   1.007 .848  .844  .817
 .655  .628  .19   .837  .848 .964  .601  .571
 .729  .032  .707  .83   .844  .601  .969  .509
 .024  .724  .719  .775  .817  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .01464755082576522
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012174247662280004
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045260272791781692

Reproduktionsmatrix F01v16 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.109  .098  .581  .566  .655  .729  .023
-.109  .967  .115  .511  .541  .628  .032  .723
 .098  .115  .977  .627  .662  .19   .707  .72
 .581  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .566  .541  .662  .98   1.007 .848  .843  .817
 .655  .628  .190  .836  .848  .964  .601  .570
 .729  .032  .707  .83   .843  .601  .969  .509
 .023  .723  .72   .775  .817  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014670166142253925
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012192511934072731
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045457164576488143

Reproduktionsmatrix F01v17 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .098  .581  .567  .654  .73   .024
-.11   .967  .115  .511  .54   .628  .032  .723
 .098  .115  .977  .627  .662  .191  .707  .72
 .581  .511  .627  .955  .98   .837  .83   .775
 .567  .54   .662  .98   1.007 .848  .844  .817
 .654  .628  .191  .837  .848  .964  .602  .571
 .73   .032  .707  .83   .844  .602  .969  .509
 .024  .723  .72   .775  .817  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .01467349775800901
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012185213230248765
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045330897093326689

Reproduktionsmatrix F01v18 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .099  .581  .567  .654  .73   .024
-.11   .967  .115  .51   .54   .628  .031  .723
 .099  .115  .977  .628  .662  .19   .707  .72
 .581  .51   .628  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .54   .662  .98   1.007 .848  .843  .818
 .654  .628  .19   .836  .848 .964  .601  .571
 .73   .031  .707  .83   .843  .601  .968  .509
 .024  .723  .72   .775  .818  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014680259674851969
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012195760024795391
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045367370709138626

Reproduktionsmatrix F01v19 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.109  .098  .581  .567  .655  .729  .024
-.109  .967  .115  .511  .541  .628  .032  .723
 .098  .115  .977  .627  .662  .19   .707  .72
 .581  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .541  .662  .98   1.007 .848  .844  .817
 .655  .628  .19   .836  .848 .964  .601  .57
 .729  .032  .707  .83   .844  .601  .969  .509
 .024  .723  .72   .775  .817  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014642324862497295
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012183211253825246
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045403995419188349

Reproduktionsmatrix F01v20 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .961 -.11   .099  .582  .567  .655  .73   .024
-.11   .967  .115  .511  .541  .628  .032  .723
 .099  .115  .977  .627  .663  .19   .707  .72
 .582  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .541  .663  .98   1.007 .848  .843  .818
 .655  .628  .190  .836  .848  .964  .601  .571
 .73   .032  .707  .83   .843  .601  .969  .509
 .024  .723  .72   .775  .818  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014664807510709563
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012189008826090793
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045405476556058957

Reproduktionsmatrix F01v21 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.109  .099  .581  .566  .655  .729  .024
-.109  .967  .114  .511  .541  .628  .032  .723
 .099  .114  .977  .628  .662  .191  .707  .719
 .581  .511  .628  .955  .98   .837  .83   .775
 .566  .541  .662  .98   1.007 .849  .843  .818
 .655  .628  .191  .837  .849  .964  .601  .571
 .729  .032  .707  .83   .843  .601  .968  .509
 .024  .723  .719  .775  .818  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014668763141587971
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012178198137878089
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045104109441930364

Reproduktionsmatrix F01v22 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.111  .099  .581  .566  .654  .73   .024
-.111  .966  .114  .51   .54   .628  .031  .722
 .099  .114  .977  .627  .662  .189  .707  .719
 .581  .51   .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .566  .54   .662  .98   1.007 .848  .843  .818
 .654  .628  .189  .836  .848  .964  .6    .57
 .73   .031  .707  .83   .843  .6    .969  .51
 .024  .722  .719  .775  .818  .57   .51   .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014707460387293146
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012204022549240484
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045378366068026175

Reproduktionsmatrix F01v23 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .099  .582  .567  .654  .73   .025
-.11   .967  .115  .511  .54   .628  .032  .723
 .099  .115  .977  .627  .662  .19   .707  .72
 .582  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .54   .662  .98   1.007 .848  .844  .818
 .654  .628  .19   .836  .848 .964  .6    .571
 .73   .032  .707  .83   .844  .6    .969  .51
 .025  .723  .72   .775  .818  .571  .51   .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014669046119452326
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012183018028829998
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045270100796813473

Reproduktionsmatrix F01v24 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.109  .099  .582  .567  .655  .73   .025
-.109  .967  .115  .511  .541  .628  .031  .724
 .099  .115  .977  .628  .663  .191  .708  .719
 .582  .511  .628  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .541  .663  .98   1.007 .848  .843  .817
 .655  .628  .191  .836  .848  .964  .601  .571
 .73   .031  .708  .83   .843  .601  .969  .509
 .025  .724  .719  .775  .817  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014655927992356559
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012169309935205028
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045358505999099706

Reproduktionsmatrix F01v25 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .099  .581  .566  .654  .729  .023
-.11   .967  .115  .511  .54   .628  .032  .723
 .099  .115  .977  .628  .663  .191  .708  .72
 .581  .511  .628  .955  .98   .836  .83   .775
 .566  .54   .663  .98   1.007 .848  .844  .817
 .654  .628  .191  .836  .848  .964  .601  .57
 .729  .032  .708  .83   .844  .601  .969  .509
 .023  .723  .72   .775  .817  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .01466338703703872
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012192792671625189
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045388812878013608

Reproduktionsmatrix F01v26 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .099  .582  .567  .655  .73   .025
-.11   .967  .115  .511  .54   .628  .032  .723
 .099  .115  .977  .627  .663  .19   .707  .72
 .582  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .54   .663  .98   1.007 .848  .844  .817
 .655  .628  .19   .836  .848 .964  .601  .57
 .73   .032  .707  .83   .844  .601  .969  .509
 .025  .723  .72   .775  .817  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014659833869807301
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012177396355642606
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045367086793889096

Reproduktionsmatrix F01v27 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.109  .099  .581  .567  .654  .729  .024
-.109  .967  .115  .511  .541  .628  .032  .723
 .099  .115  .977  .628  .662  .19   .708  .719
 .581  .511  .628  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .541  .662  .98   1.007 .848  .843  .818
 .654  .628  .190  .836  .848  .964  .600  .571
 .729  .032  .708  .83   .843  .600  .969  .509
 .024  .723  .719  .775  .818  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014661272796874162
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012192479836779243
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045383490069242741

Reproduktionsmatrix F01v28 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .099  .581  .567  .654  .729  .024
-.11   .966  .114  .511  .54   .628  .031  .723
 .099  .114  .977  .627  .662  .19   .707  .719
 .581  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .54   .662  .98   1.007 .848  .843  .818
 .654  .628  .190  .836  .848  .964  .600  .571
 .729  .031  .707  .83   .843  .6    .968  .509
 .024  .723  .719  .775  .818  .571  .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .01470094372519175
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012201562377827634
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045296910067648659

Reproduktionsmatrix F01v29 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .098  .582  .567  .655  .73   .024
-.11   .967  .116  .511  .54   .628  .032  .723
 .098  .116  .977  .627  .663  .19   .707  .72
 .582  .511  .627  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .54   .663  .98   1.007 .848  .844  .818
 .655  .628  .190  .836  .848  .964  .601  .57
 .73   .032  .707  .83   .844  .601  .969  .51
 .024  .723  .72   .775  .818  .57   .51   .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014653055297356613
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012169939556253916
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045222496867326078

Reproduktionsmatrix F01v30 aus 3 Faktoren und Vergleich mit der Original Korrelationsmatrix
 .962 -.11   .098  .581  .567  .655  .73   .024
-.11   .967  .116  .511  .541  .628  .032  .723
 .098  .116  .977  .628  .663  .191  .707  .721
 .581  .511  .628  .955  .98   .836  .83   .775
 .567  .541  .663  .98   1.007 .848  .844  .817
 .655  .628  .191  .836  .848  .964  .601  .57
 .73   .032  .707  .83   .844  .601  .968  .509
 .024  .723  .721  .775  .817  .57   .509  .959
Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .014663172801323216
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .012193137542678181
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .045464862652089603
 


Statistik der Eigenwerte der ersten dreißig Fehlerversuche (WW+- 0,5%)
 
Die Eigenwerte sind die 'Gene' und das 'Herzstück' einer Korrelationsmatrix. Kennt man die Eigenwerte, weiß man alles Wesentliche über die Gesetz- und Regelhaftigkeiten der Korrelationsmatrix und wie viele Fast- Kollinearitäten, d.h. fast-funktionale Abhängigkeiten  sie enthält, um so mehr, je mehr Eigenwerte 'nahe' 0 sich in der Korrelations- Matrix finden. Jede ForscherIn sollte daher bestrebt sein, Eigenwerte 'nahe' 0 aufzuspüren, und sodann Theorien, Modelle und Hypothesenprüfungen entwickeln, um diese Gesetzmäßigkeiten zu erklären. Nur FaktorenanalytikerInnen interessieren sich anscheinend nicht dafür, sie definieren und beschließen einfach wie numerologische MetaphysikerInnen durch ein narzißtisches Orakel, daß so und so viele Eigenwerte per definitionem 0 gesetzt werden und spielen damit Lieber Gott. Allerdings meist um den Preis einer fürchterlichen Matrix-Malträtierung. Hierbei verkennen sie in aller Regel, daß die Korrelationmatrix zu den zentriert-normierten Rohdaten in isometrischer Relation steht (Hain 1994, Kap. 6, S. 20, Satz 3.4), d.h. eine gewaltsame 0-Setzung ist einer Datenverfälschung äquivalent. Gewaltsam heißt hier, daß die Matrix nicht in ihrer empirischen Erscheinung von vorneherein Eigenwerte 'nahe' 0 enthält. 

Zusammenfassung der Ergebnisse unten.

Mittelwert, Sigma, Max und Min der Eigenwerte der Serie F01v1-30:
Mit 5.0878  1.5312  1.1379  0.1070  0.0917  0.0588 -0.0046 -0.0098
Sig 0.0075  0.0011  0.0005  0.0017  0.0017  0.0017  0.0018  0.0018
Max 5.0912  1.5328  1.1387  0.1158  0.1006  0.0681  0.0052  0.0000
Min 5.0477  1.5260  1.1366  0.1063  0.0911  0.0582 -0.0050 -0.0101

Eigenwerte der Serie:
F01v01  5.0477  1.5260  1.1366  0.1158  0.1006  0.0681  0.0052  0.0000
F01v02  5.0889  1.5318  1.1375  0.1067  0.0914  0.0586 -0.0048 -0.0100
F01v03  5.0885  1.5320  1.1378  0.1067  0.0917  0.0584 -0.0050 -0.0101
F01v04  5.0889  1.5307  1.1386  0.1067  0.0914  0.0587 -0.0050 -0.0101
F01v05  5.0890  1.5311  1.1383  0.1067  0.0915  0.0584 -0.0049 -0.0101
F01v06  5.0888  1.5315  1.1380  0.1069  0.0913  0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v07  5.0883  1.5316  1.1383  0.1069  0.0913  0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v08  5.0897  1.5317  1.1375  0.1064  0.0914  0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v09  5.0891  1.5313  1.1381  0.1066  0.0912  0.0586 -0.0049 -0.0101
F01v10  5.0899  1.5322  1.1368  0.1065  0.0913  0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v11  5.0897  1.5309  1.1381  0.1065  0.0913  0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v12  5.0902  1.5310  1.1376  0.1067  0.0911  0.0584 -0.0049 -0.0101
F01v13  5.0875  1.5328  1.1375  0.1071  0.0915  0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v14  5.0885  1.5316  1.1383  0.1066  0.0916  0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v15  5.0890  1.5313  1.1383  0.1064  0.0914  0.0586 -0.0049 -0.0101
F01v16  5.0892  1.5307  1.1382  0.1068  0.0913  0.0588 -0.0049 -0.0101
F01v17  5.0873  1.5323  1.1385  0.1069  0.0915  0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v18  5.0901  1.5308  1.1382  0.1063  0.0912  0.0584 -0.0050 -0.0101
F01v19  5.0896  1.5318  1.1370  0.1070  0.0913  0.0584 -0.0050 -0.0101
F01v20  5.0904  1.5311  1.1373  0.1068  0.0913  0.0582 -0.0050 -0.0101
F01v21  5.0881  1.5314  1.1387  0.1066  0.0917  0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v22  5.0891  1.5315  1.1375  0.1069  0.0915  0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v23  5.0912  1.5306  1.1369  0.1066  0.0913  0.0585 -0.0050 -0.0101
F01v24  5.0895  1.5308  1.1381  0.1065  0.0916  0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v25  5.0894  1.5314  1.1379  0.1067  0.0915  0.0582 -0.0050 -0.0101
F01v26  5.0890  1.5313  1.1383  0.1067  0.0912  0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v27  5.0900  1.5309  1.1379  0.1064  0.0916  0.0582 -0.0050 -0.0101
F01v28  5.0890  1.5312  1.1382  0.1068  0.0913  0.0586 -0.0050 -0.0101
F01v29  5.0892  1.5311  1.1382  0.1065  0.0915  0.0585 -0.0049 -0.0101
F01v30  5.0895  1.5318  1.1376  0.1066  0.0913  0.0583 -0.0050 -0.0101

Abweichungen Eigenwerte der Serie von den Wahre Wert Eigenwerten
 0.0007  0.0001  0.0001  0.0002  0.0002  0.0002  0.0001  0.0000
 0.0405  0.0057  0.0010  0.0089  0.0091  0.0093  0.0099  0.0100
 0.0400  0.0059  0.0013  0.0089  0.0088  0.0095  0.0100  0.0101
 0.0405  0.0047  0.0021  0.0089  0.0091  0.0092  0.0100  0.0101
 0.0405  0.0050  0.0018  0.0089  0.0089  0.0095  0.0100  0.0101
 0.0404  0.0055  0.0016  0.0087  0.0091  0.0094  0.0100  0.0101
 0.0399  0.0056  0.0018  0.0087  0.0091  0.0094  0.0100  0.0101
 0.0412  0.0056  0.0010  0.0092  0.0091  0.0094  0.0101  0.0101
 0.0407  0.0053  0.0017  0.0090  0.0092  0.0093  0.0100  0.0101
 0.0414  0.0061  0.0003  0.0091  0.0092  0.0094  0.0100  0.0101
 0.0413  0.0048  0.0016  0.0091  0.0091  0.0093  0.0101  0.0101
 0.0418  0.0049  0.0011  0.0089  0.0093  0.0095  0.0100  0.0101
 0.0390  0.0067  0.0011  0.0085  0.0089  0.0093  0.0100  0.0101
 0.0400  0.0056  0.0019  0.0090  0.0089  0.0094  0.0101  0.0101
 0.0405  0.0052  0.0018  0.0092  0.0091  0.0092  0.0100  0.0101
 0.0408  0.0046  0.0017  0.0088  0.0091  0.0091  0.0100  0.0101
 0.0389  0.0062  0.0021  0.0087  0.0089  0.0094  0.0100  0.0101
 0.0417  0.0047  0.0018  0.0093  0.0092  0.0095  0.0101  0.0101
 0.0411  0.0058  0.0006  0.0086  0.0092  0.0095  0.0101  0.0101
 0.0420  0.0050  0.0008  0.0088  0.0091  0.0097  0.0101  0.0101
 0.0397  0.0053  0.0023  0.0090  0.0088  0.0094  0.0100  0.0101
 0.0406  0.0054  0.0011  0.0087  0.0089  0.0094  0.0101  0.0101
 0.0427  0.0046  0.0005  0.0090  0.0092  0.0094  0.0101  0.0101
 0.0411  0.0048  0.0016  0.0091  0.0089  0.0093  0.0101  0.0101
 0.0409  0.0053  0.0014  0.0089  0.0089  0.0097  0.0101  0.0101
 0.0405  0.0052  0.0019  0.0089  0.0093  0.0093  0.0100  0.0101
 0.0416  0.0048  0.0015  0.0092  0.0089  0.0097  0.0101  0.0101
 0.0406  0.0051  0.0017  0.0088  0.0091  0.0093  0.0101  0.0101
 0.0408  0.0050  0.0018  0.0091  0.0090  0.0094  0.0100  0.0101
 0.0411  0.0057  0.0011  0.0090  0.0092  0.0096  0.0101  0.0101

Mittelwert der absoluten Abweichungen .. =  .011488346082429563
Standardabweichung der abs. Abweichungen =  .011279355114656023
Maximaler absoluter Abweichungswert .... =  .0427361032733972
 

Zusammenfassung Eigenwertveränderungen bei 1% Fehlerspanne der Urdaten
 

(1) Der kleinste der 30 größten Eigenwerte in dieser Versuchsserie F01v01 ist 5.047

(2) Der größte der 30 größten Eigenwerte in dieser Versuchsserie F01v2,4,13,24 ist unerwartet größer als der größte Eigenwert des Wahrenwert-Versuches mit 5.091

(3) Es fällt auf, daß nur beim ersten der 30 Versuche die Matrix positiv-semidefinit ist. Alle anderen 29 Versuche führen zu je zwei negativen Eigenwerten. 29 von 30 Matrizen der ersten Versuchsserie sind also - kollinearitäts-, rundungsfehler-  (und x?)  bedingt - indefinit (mathematisch regelwidrig) und würden bei multivariater Weiterverarbeitung zu entgleisten Werten führen, z.B. bei partiellen oder multiplen Korrelationskoeffizienten mit Werten > 1. 

(4) Ungewöhnlich und entgegen meiner Erwartung ist hier auch, daß 29 der größten Eigenwerte betragsmäßig größer als der größte Eigenwert im Urdatenversuch sind. Im Urdaten oder Wahren-Wertversuch war der größte Eigenwert 5.04844. Meine Erwartung aufgrund meiner Vermutung, daß mit zunehmenden Fehlerspannen die größten Eigenwertbeträge sinken war und ist, daß die größten Eigenwerten mit zunehmender Fehlerspanne immer kleiner werden sollten. Es gibt eigentlich nur eine Quelle für diese Erscheinung: die Indefinitheit oder mathematische Regelwidrigkeit der 29 Matrizen, die negative Eigenwerte produzieren.  Dafür spricht, daß der kleinste der größten Eigenwerte, der beim Versuch F01v01auftritt, mit 5.047 aus der einzigen positiv semidefiniten, also mathematisch regelkonformen (wenn auch singulären) Matrix stammt und der ist kleiner als der größte Eigenwert aus dem Wahre- Wert- Urdatenversuch. 

(5) Abgesehen von den indefiniten mathematischen Regelwidrigkeiten - die man nicht unterschätzen sollte - kann man sagen, daß eine zufällig normalverteilte Fehlerspanne von 1% bei den Urdaten auf die Eigenwerte der Korrelationsmatrizen keine irreperablen und auf die Reproduktionsgüte der Originalmatrix kaum Auswirkungen hat. Sämtliche Eigenwerte bewegen sich insgesamt noch in einer praktisch relativ engen Grenze gemessen am Kriterium Reproduktionsgüte der Wahre- Werte- Ursprungsmatrix, wie die Rückrechnungen aus drei Faktoren bei allen 30 Faktorenanalysen zeigen. 
 

Offene Eigenwert-Fragen für diesen Versuch F01v01...30
 
Die Beträge der negativen Eigenwerte fallen nach meinem erfahrungsfundierten Zahlengefühl für Eigenwertbeträge etwas hoch aus. Ich hätte höchstens Werte <10-^4 erwartet. Ob sich da ein systematischer Fehler eingeschlichen hat? Wer eine Idee hat, melde sich bitte.



Anlage zur Anmerkung 5.11.2, 17.30 Uhr

Kommentar 7.11.2: Die folgenden Ergebnisse - wenn sie richtig sind und von anderen bestätigt werden können - sind ausgesprochen verblüffend und widersprechen dem gesunden Menschenverstand vollständig. Obwohl die Rohdaten mit einer zufällig normalverteilten Fehlerspanne von 50% (links und rechts bzw. oben und unten also je 25%) versehen wurden, zeigt sich die Eigenwertstruktur der daraus gewonnenen Korrelationsmatrizen davon weitgehend unbeeinflußt, scheint also weitgehend invariant gegen zufällig normalverteilte Fehler selbst in der Größenordnung 50% zu sein. Die Paradoxie besteht in dem Widerspruch, daß selbst große Fehler keine nennenswerte oder nur eine sehr kleine Wirkung haben. Das ist sozusagen die Umkehrung des Sachverhalts bei numerischer Instabilität, wo kleinste Abweichungen riesige Auswirkungen haben: hier haben große Abweichungen nur kleinste Auswirkungen.

F50v01  5.026  1.498  1.121  .123   .115   .079   .022   .015
in Proz  62.82 18.73  14.02  1.54   1.44   .98    .27    .19

F50v02  4.943  1.582  1.126  .143   .107   .076   .016   9D-3
in Proz  61.78 19.77  14.07  1.78   1.33   .96    .19    .11

F50v03  4.95   1.536  1.176  .134   .107   .072   .021   6D-3
in Proz  61.87 19.19  14.69  1.67   1.33   .89    .27    .08

F50v04  5.011  1.507  1.108  .146   .12    .075   .026   7D-3
in Proz  62.63 18.83  13.86  1.82   1.5    .94    .33    .09

F50v05  5.023  1.509  1.126  .137   .117   .07    .014   4D-3
in Proz  62.79 18.87  14.07  1.71   1.46   .88    .18    .05

F50v06  5.027  1.527  1.098  .153   .109   .067   .012   6D-3
in Proz  62.84 19.09  13.73  1.92   1.36   .83    .16    .08

F50v07  5.069  1.48   1.12   .132   .1     .074   .014   .011
in Proz  63.36 18.5   14     1.65   1.26   .93    .17    .14

F50v08  4.984  1.558  1.12   .135   .112   .07    .019   2D-3
in Proz  62.3  19.47  14     1.68   1.4    .88    .24    .02

F50v09  4.998  1.569  1.108  .125   .109   .07    .012   7D-3
in Proz  62.48 19.62  13.85  1.56   1.37   .87    .16    .09

F50v10  5.066  1.539  1.073  .119   .108   .073   .017   5D-3
in Proz  63.33 19.24  13.41  1.49   1.35   .91    .21    .07

F50v11  4.97   1.517  1.155  .124   .116   .099   .014   5D-3
in Proz  62.12 18.96  14.44  1.55   1.45   1.24   .17    .07

F50v12  5.059  1.472  1.146  .127   .101   .076   .016   3D-3
in Proz  63.23 18.4   14.33  1.59   1.26   .95    .2     .04

F50v13  4.96   1.556  1.119  .13    .105   .086   .031   .013
in Proz  62.01 19.44  13.98  1.63   1.31   1.08   .39    .16

F50v14  5.008  1.541  1.112  .139   .111   .07    .013   5D-3
in Proz  62.61 19.26  13.9   1.73   1.39   .88    .16    .07

F50v15  5.049  1.549  1.093  .138   .083   .07    .016   1D-3
in Proz  63.12 19.37  13.66  1.73   1.03   .88    .2     .01

F50v16  5.032  1.538  1.096  .141   .093   .07    .018   .011
in Proz  62.89 19.23  13.7   1.76   1.16   .88    .23    .14

F50v17  4.973  1.542  1.131  .136   .112   .079   .02    7D-3
in Proz  62.17 19.28  14.13  1.7    1.4    .98    .25    .08

F50v18  5.06   1.492  1.114  .124   .102   .075   .021   .011
in Proz  63.25 18.66  13.93  1.55   1.28   .94    .26    .14

F50v19  5.013  1.536  1.115  .13    .11    .078   .012   6D-3
in Proz  62.66 19.2   13.94  1.63   1.38   .97    .15    .08

F50v20  5.038  1.503  1.139  .132   .108   .066   .012   3D-3
in Proz  62.98 18.78  14.24  1.65   1.35   .82    .15    .04

F50v21  5.074  1.501  1.106  .142   .097   .065   8D-3   7D-3
in Proz  63.42 18.76  13.82  1.77   1.22   .82    .1     .08

F50v22  4.999  1.55   1.125  .12    .11    .069   .015   .01
in Proz  62.49 19.38  14.07  1.5    1.38   .87    .19    .13

F50v23  4.984  1.557  1.113  .118   .112   .089   .019   8D-3
in Proz  62.31 19.46  13.91  1.48   1.4    1.11   .24    .1

F50v24  5.021  1.528  1.115  .139   .103   .074   .012   8D-3
in Proz  62.77 19.11  13.94  1.73   1.28   .92    .14    .1

F50v25  5.043  1.516  1.129  .124   .095   .077   .011   5D-3
in Proz  63.04 18.96  14.11  1.55   1.19   .96    .14    .06

F50v26  5.028  1.533  1.102  .131   .103   .079   .016   6D-3
in Proz  62.85 19.16  13.78  1.64   1.28   .99    .2     .08

F50v27  5.027  1.515  1.101  .143   .115   .08    .015   4D-3
in Proz  62.83 18.94  13.77  1.79   1.44   .99    .18    .05

F50v28  5.046  1.524  1.113  .131   .103   .066   .013   4D-3
in Proz  63.08 19.05  13.91  1.64   1.28   .83    .16    .05

F50v29  5.073  1.515  1.091  .116   .103   .077   .022   4D-3
in Proz  63.41 18.93  13.64  1.45   1.29   .96    .27    .04

F50v30  4.985  1.549  1.133  .119   .108   .085   .014   7D-3
in Proz  62.31 19.36  14.16  1.49   1.35   1.06   .17    .08


Cooley, W.W. & Lohnes, P.R. (1971). Multivariate Data Analysis. New York: Wiley. p. 111: F = VEK * SQR(EIG)
___
Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von dem Mathematiker Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: http://ww.iec-verlag.de
___
Sponsel, Rudolf (2005). Fast- Kollinearität in Korrelationsmatrizen mit Eigenwert-Analysen erkennen. Ergänzungsband - Band II zu
"Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie -  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology - Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie". Erlangen: IEC-Verlag. ISSN-0944-5072  * ISBN 3-923389-13-2. WIRE-O-Ringbindung DIN A4.
___
Man kann die numerische Stabilität einer Korrelationsmatrix erhöhen, wenn man die Diagonalelemente numerisch größer macht. Diese Methode stammt von TIKHONOV, heißt auch Regularisierungs- oder auch Ridge-Methode. Siehe Sponsel (1994, Kap. 5, S. 08-10) mit Beispielen.
__

Querverweise
zur methodischen Umgebung dieser Untersuchung:
Standort: Versuch q01.
*
Überblicks- und Verteilerseite zu diesen Versuchen
Einführung und Überblick. Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse
Was für ein Typ Matrix entsteht durch Faktorenanalysen?
Überblicks- und Verteilerseite: Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie
*
Dienstleistungs-Info.
*

Zitierung
Sponsel, Rudolf  (DAS). Die ersten 30 der 1500 Versuche mit zufällig normalverteilter Fehlerspannweite von 1% bezüglich der definierten wahren Werte des Quaders zur explorativen Untersuchung des Verhaltens der Eigenwerte und Faktoren.  IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/fa/quader/q01.htm
Copyright & Nutzungsrechte
Diese Seite darf von jeder/m in nicht-kommerziellen Verwertungen frei aber nur original bearbeitet und nicht  inhaltlich verändert und nur bei vollständiger Angabe der Zitierungs-Quelle benutzt werden. Das direkte, zugriffsaneignende Einbinden in fremde Seiten oder Rahmen ist nicht gestattet. Zitate und Links sind natürlich erwünscht. Sofern die Rechte anderer berührt sind, sind diese dort zu erkunden. Sollten wir die Rechte anderer unberechtigt genutzt haben, bitten wir um Mitteilung. Soweit es um (längere) Zitate aus  ...  geht, sind die Rechte bei/m ... zu erkunden oder eine Erlaubnis einzuholen.


  Ende_ q01_ Überblick  _ Relativ Aktuelles  _ Rel. Beständiges  _ Titelblatt  _ Konzept  Archiv  _ Region _ Service iec-verlag _ Mail: _ sekretariat@sgipt.org  __Wichtige Hinweise zu Links und Empfehlungen


Änderungen wird fortlaufend überarbeitet, ergänzt und vertieft * Anregungen und Kritik willkommen
14.05.2015  Linkfehler geprüft und korrigiert, Layout-Anpassung.