SGIPT
Internet Publikation  für Allgemeine und Integrative Psychotherapie  IP-GIPT DAS= 22.04.2001
Anfang Faktorenanalyse Dok-01 _ Überblick  _ Relativ Aktuelles  _ Rel. Beständiges  _ Titelblatt  _ Konzept  _  Archiv  _ Region _ Service iec-verlag _Mail: _ sekretariat@sgipt.org  _ Zitierung & Copyright _
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Willkommen in der Abteilung Kritik der Handhabung der Faktorenanalyse, hier (noch nicht zweit-korrigiert):

Dokumentation-01

    Ein angemessenes und positives Beispiel für eine Datenreduktion durch Faktorenanalyse

    Bilanzkennzahlen der Chemischen Industrie
    in den Jahren 1965 bis 1980

    Eine korrelative, faktorenanalytische und numerische Studie

    von Rudolf Sponsel, Erlangen

    Datenquelle: HARTUNG, J. & ELPELT, B. (1984). Multivariate Statistik". München, S. 641

    Eine Erklärung der Kennwerte der Matrixanalysen finden professionell Interessierte hier
    Für numerische Laien empfehle ich vorab diese  Seite
    Übersichtsseite: Wissenschaft in der SGIPT

    Inhaltsübersicht
    Abstract - Zusammenfassung

  1. Die Rohdaten
  2. Die Korrelationsmatrix
  3. Die 1. Matrix-Analyse der Originär 7*7-Korrelationsmatrix
  4. Hauptkomponenten-Faktorenanalyse mit einer 5-Faktoren Lösung
  5. Vergleichsanalyse zwischen Originärer Korrelations- und aus 5-Faktoren rückgerechneter 'Korrelationsmatrix'
  6. Die 2. Matrix-Analyse der aus den 5-Faktoren rückgerechneten 7*7 Korrelationsmatrix, wobei die Hauptdiagonalelemente wie rückgerechnet belassen wurden.
  7. Die 3. Matrix-Analyse der aus den 5-Faktoren rückgerechneten 7*7 'Korrelationsmatrix', wobei die Hauptdiagonalelemente auf 1 gerundet bzw. gesetzt wurden.

    8. _
    Abstract - Zusammenfassung
    Bei der Durchsicht  der "Multivariaten Statistik" von Hartung & Elpelt (1984, S. 641) stieß ich mehr zufällig auf die dort veröffentlichten Rohdaten "Bilanzkennzahlen der Chemischen Industrie in den Jahren 1965 bis 1980. Zur Durchführung von numerischen Rundungsexperimenten sind Rohdaten, aus denen Korrelationsmatrizen gerechnet werden können, sehr nützlich. Das war damals, 1994, wahrscheinlich der Grund (ich weiß es nicht mehr genau) für die Berechnung. Die Produkt-Moment-Korrelationsmethode führte zu einer originären 7*7 Korrelationsmatrix. Die erste Matrixanalyse erbrachte für mich überraschend, daß zwei Eigenwerte "sehr nahe" bei 0 lagen (0.00698 und 0.00098), zeigte also zwei Kollinearitäten (lineare Abhängigkeiten) an, so daß eine 5er Hauptkomponenten- Faktorenanalyse sehr erfolgversprechend war. Aus den fünf-Faktoren rechnete ich daraufhin die Matrix zurück, um zu vergleichen, wie genau die Reproduktion war. Sie war so gut, daß eine 2. Matrixanalyse mit der aus den 5 Faktoren rückgerechneten 'Korrelationsmatrix' nur eine mittlere Abweichung vom Betrage 0.0006 mit einem maximalen Abweichungsbetrag 0.0047 ergab. Diese Ergebnisse entsprechen im hohen Maße einer intuitiven Vorstellung von fast "gleich". Obwohl die Abweichungen minimal sind, zeigt doch die Matrixanalyse der aus den 5 Faktoren rückgerechneten Korrelationsmatrix einen sehr kleinen negativen Eigenwert mit   -.0000000000000000067220534694101275 an, der aber genügt, um die Matrix restlos entgleisen zu lassen mit einer Reihe von imaginären Werten und der Folge, daß vier multiple Korrelationskoeffizienten unzulässige Werte > 1 produzieren. Die Matrix wurde "psychotisch". Das ist hier nicht weiter schlimm, wenn man vor der multivariaten Weiterverarbeitung die Matrix in Ordnung bringt. Das ist im vorliegenden Fall besonders einfach, wenn man die Fast-Einsen in der Hauptdiagonale auf 1 rundet. Die 3. Matrixanalyse bestätigt, daß die Matrix dann wieder positiv definit wird. Vergleicht man die Konditionzahl zur Schätzung der numerischen Stabilität der ersten und originären Korrelationsmatrix (5163) mit der aus der 3. Matrixanalyse  (6842), so sind beide zwar sehr hoch, aber noch in der gleichen Größenordnung. Die Konditionszahl der aus den 5-Faktoren rückgerechneten Matrix mit 1110000000000000000, also einer guten Trillion, zeigt eindrucksvoll, wie minimalste Veränderungen im 10.000stel Bereich in der Haupdiagonale extrem auf die numerische Stabilität der Matrix einwirken. Das genau illustriert den Sinn von Stabilität bzw. Instabilität sehr gut.
     
    Hauptergebnis dieser Studie: Eine Faktorenanalyse mit nahezu perfekter Reproduzierbarkeit der Ursprungsmatrix ist mit empirischen Daten, hier die Bilanzkennzahlen der Chemischen Industrie von 1965 bis 1980, möglich. 

    1. Die Rohdaten

    Urdatenliste (nach Quelle Tabelle 9, S. 641):
    i (Jahr)\j (Variable):

          1=AI    2=EA    3=ER    4=UR    5=LIQ   6=DVR   7=KU
     1    44.9    43.6    15.6    5.8     142.8   30.3    119.5
     2    46.2    42.7    17.7    6.5     122     31      117.6
     3    43.5    42.5    12.1    4.6     131.6   27.4    113.5
     4    40.3    43.1    13.8    5.5     156.2   27.1    111.3
     5    38.3    41.1    15.8    6       134.7   24.9    110.4
     6    40.4    39.2    11.2    4.3     127.3   21.3    104.1
     7    40.4    38.9    9.1     3.4     131.5   18.7    106.3
     8    40.2    39      9.6     3.6     128.6   18.9    106
     9    38      38.6    8.7     3       124.8   18.4    113.8
     10   35.1    37.6    10.7    3.1     119.3   19      131.7
     11   36.2    38.5    7.4     2.4     128.3   16.7    120.7
     12   35.7    37.9    10.7    3.2     121.4   18.7    131.9
     13   35.2    39      8.1     2.5     129.6   17.6    131.2
     14   34.5    39.1    9       2.7     132.6   18.1    131
     15   31.6    38      10.2    2.8     123.9   18.4    143.1
     16   31.3    38.3    9       2.4     121.6   17.8    149.5


    2. Die Korrelationsmatrix

    Die Matrix wird hier nur in dreistelliger Genauigkeit angegeben. Sie wurde auf Atari mit Omikron-Basic mit 17-stelliger (doppelter Genauigkeit) gerechnet.

    Original input data with  17-digit-accuracy and read with
     17-digit-accuracy (for control here the analysed original matrix):

     1     .793  .672  .8    .377  .815 -.742
     .793  1     .802  .872  .685  .949 -.428
     .672  .802  1     .96   .341  .923 -.296
     .8    .872  .96   1     .482  .94  -.531
     .377  .685  .341  .482  1     .483 -.415
     .815  .949  .923  .94   .483  1    -.379
    -.742 -.428 -.296 -.531 -.415 -.379  1


    3. Die 1. Matrix-Analyse der Originär 7*7-Korrelationsmatrix
     
    Man beachte: Nicht jede Matrix, die nach ihrem Aussehen und ihrer Oberfläche eine Korrelationsmatrix zu sein scheint, ist auch tatsächlich eine Korrelationsmatrix im numerisch- linear- algebraischen Sinne. Daher ist der erste Schritt, um festzustellen, ob eine phänotypische Korrelationsmatrix auch eine genotypische, d.h. richtige ist, eine Matrixanalyse mit Schwerpunkt Eigenwerte und Definitheit. 
    Anmerkung: Aus dem positiven Vorzeichen der Determinante darf nicht der Schluß gezogen werden, daß die Matrix positiv definit ist. Sind in einer Matrix z.B. zwei negative Eigenwerte vorhanden, wäre die Determinante, die sich auch als Produkt der Eigenwerte bestimmen läßt,  ebenfalls positiv, weil (-) * (-), was ich bis heute leider noch nicht richtig verstanden habe, in der Mathematik (+) ergibt.
    Erläuterungen zur Matrixanalyse: 
    Numerische Laien  hier    und      Professionell Interessierte hier

    Samp Or MD NumS Condit  Determinant  HaInRatio    R_OutIn   K_Norm  C_Norm
     16   7 0   -    5163   .000000139   .0000000013  59230     .03(0)  .042(2)

    **********    Summary of standard correlation matrix analysis   ***********
    File = H641A16.D07   N-order= 7   N-sample= 16   Rank= 7   Missing data =  0
    Positiv Definit=Cholesky successful________= Yes with  0 negat. eigenvalue/s
    HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________= 5.0394588345069376
    LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____= 9.7606899236595901D-4
    CON: Condition number HEVA/LEVA___________~= 5163.0149855405772
    DET: Determinant original matrix___________= 1.3904058985278835D-7
    HAC: HADAMARD condition number_____________= 1.4172973438030602D-9
    HCN: Heuristic condition |DET|CON__________= 2.6930115493017602D-11
    D_I: Determinant Inverse absolute value____= 7192144
    HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<= 5.519269913256784D+15
    HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________= 1.3030970609009614D-9
    Highest inverse positive diagonal value____= 566.772907622
      thus multiple r( 4.rest)_________________= .999117423
      and  5 multiple r > .99
    There are no negative inverse diagonal values.
     Maximum range (upp-low) multip-r( 5.rest)_= .088
    LES: Numerical stability analysis:
     Ratio maximum range output / input _______=  59229.755251538215
    PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON= .030233 (<-> Angle = 1.73 )
    Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =  0
    PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ =  .042004 (<-> Angle = 2.41 )
    Number of Ratios Cholesky RN/ON < .1 _____ =  2

     Ncor L1-Norm L2-Norm Max  Min    m|c|    s|c|   N_comp  M-S    S-S
      49    34.4   5.19    1  -.742  .652    .223      210   .266  .183

     class boundaries and distribution of the correlation-coefficients
     -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
        0    2    6    4    0    0    4    4    6    23

    Original input data with  17-digit-accuracy and read with
     17-digit-accuracy (for control here the analysed original matrix):

     1     .793  .672  .8    .377  .815 -.742
     .793  1     .802  .872  .685  .949 -.428
     .672  .802  1     .96   .341  .923 -.296
     .8    .872  .96   1     .482  .94  -.531
     .377  .685  .341  .482  1     .483 -.415
     .815  .949  .923  .94   .483  1    -.379
    -.742 -.428 -.296 -.531 -.415 -.379  1

     i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
      1.  5.03946   1         2.  .95064    .6091       3.  .75552   .5941
      4.  .22089    .1735     5.  .02554    .437        6.  6.98D-3  .0987
      7.  9.8D-4    .1377
     Cholesky decomposition successful, thus the matrix is (semi) positive definit.

     analysed: 12.04.94 20:07:34  PRG version 15/03/94 MA_BAT6.BAS
      Gesamtzeit_____________  42
     
     
    Ergebnis: Die Korrelationsmatrix zeigt zwei Eigenwerte "sehr" nahe bei 0 (0.00698 und 0.00098), weshalb eine Faktorenanalyse mit einer 5-Faktorenlösung sehr erfolgversprechend und numerisch begründet erscheint, zumal die Matrix positiv definit ist, wie aus der gelungenen Choleskyzerlegung folgt, aber auch alle sämtlich positiven Eigenwerte anzeigen, was aufgrund der schlechten numerischen Eigenschaften von Matrizen und Computern keineswegs selbstverständlich ist; hier liegt eher ein Glücksfall vor. Andererseits wäre es aber auch kein Problem gewesen, mögliche "sehr" kleine negative Eigenwerte mit Hilfe der Centroidmethode von Thurstone oder der Singulärwertzerlegung SVD zu "therapieren" (wird später noch behandelt) - aber: man muß es auch tun, sonst kann es aufgrund völlig entgleister ("psychotischer") Werte zu bösen Überraschungen kommen.


    4. Hauptkomponenten-Faktorenanalyse mit einer 5-Faktoren Lösung

    Die Faktorisierung der Matrix K = FF' bedeutet, daß die Korrelationsmatrix in zwei Matrizen aus Faktoren derart zerlegt wird, daß die Matrix der Faktoren (F) multipliziert mit ihrer Transponierten (F') die Korrelationsmatrix reproduziert. Dies funktioniert nur, wenn die Matrix positiv definit ist, was sie sein soll, aber nicht immer ist. Man muß hier aufpassen, denn es gilt zu unterscheiden zwischen phänotypischen und genotypischen Korrelationsmatrizen.: eine genotypische sieht aus wie phänotypische und ist auch eine, weil positiv definit, eine phänotypische Korrelationsmatrix sieht u. U. nur so aus (quadratisch, symmetrisch, Hauptdiagonalen 1, und für alle alle Koeffizienten gilt: -1 <= K > +1, obwohl sie, wie z. B. negative Eigenwerte anzeigen, entgleist (für Kliniker: "psychotisch" wird).
     

    Daten in C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\H641A16\H641A5FD.IMA
    Ursprungsmatrix A von C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\H641A16\H641A5FD.FAK
    Faktorrückgerechnete Korrelationen HD=1 in:
      C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\H641A16\H641A5FD.F07

    Auswertung vom 12.04.94 23:46:56
     .8848  -.212    .3176  -.2496   .0935
     .9488   .0823  -.2153  -.1909  -.0941
     .8793   .4103   .0964   .2166   .0433
     .9641   .1523   .0905   .195   -.0123
     .609   -.3468  -.7085   .0621   .0536
     .9564   .2614   2D-3   -.1082  -.0227
    -.6067   .7202  -.298   -.1471   .0503

    Ursprungsmatrix B von
     .8848   .9488   .8793   .9641   .609    .9564  -.6067
    -.212    .0823   .4103   .1523  -.3468   .2614   .7202
     .3176  -.2153   .0964   .0905  -.7085   2D-3   -.298
    -.2496  -.1909   .2166   .195    .0621  -.1082  -.1471
     .0935  -.0941   .0433  -.0123   .0536  -.0227   .0503

    Produkt-Matrix A * B mit Determinante= -1.3679202680667077D-40
     .9997   .7925   .6717   .7997   .3769   .8164  -.7427
     .7925   .9986   .8018   .8717   .6849   .9513  -.4288
     .6717   .8018   .9996   .9607   .3406   .924   -.2964
     .7997   .8717   .9607   .9991   .4816   .9413  -.5315
     .3769   .6849   .3406   .4816   1       .4824  -.4146
     .8164   .9513   .924    .9413   .4824   .9953  -.3778
    -.7427  -.4288  -.2964  -.5315  -.4146  -.3778   .9998

    5. Vergleichsanalyse zwischen Originärer Korrelations- und aus 5-Faktoren rückgerechneter 'Korrelationsmatrix'
     
    Ergebnis: Die mittleren Abweichungsbeträge ergeben µ = 0.0006, die Abweichungen zwischen ursprünglicher Korrelationsmatrix und der aus 5 Faktoren rückgerechneten bewegen sich im Zehntausendstelbereich. Der größte Abweichungsbetrag ist 0.0047, bewegt sich also im 1000stel Bereich. 

    *******************       Residual analysis      *********************
    Matrix residuals (whole matrix inclusive diagonal):
      Mean absolute values of residuals =  6.0572659716564304D-4
      Sigma absolute values of residuals =  8.0376863274828258D-4
      Maximum range absolute values =  4.6626932473200503D-3 (r6.6)

    Matrix residuals upper triangular matrix without diagonal:
      Mean absolute values of residuals =  5.1731670278616708D-4
      Sigma absolute values of residuals =  5.6597583770644069D-4
      Maximum range absolute values =  2.5512331849943305D-3 (r2.6)
     

    6. Die 2. Matrix-Analyse der aus den 5-Faktoren rückgerechneten  7*7 Korrelationsmatrix, wobei die Hauptdiagonalelemente wie rückgerechnet belassen wurden.
     
    Erläuterungen zur Matrixanalyse: 
    Numerische Laien  hier    und      Professionell Interessierte hier

    H641A5FD.F07
    Samp  Or  MD  NumS  Condit  Determinant  HaInRatio  R_OutIn  K_Norm   C_Norm
    16    7   0    --1  1.1D+18      0       2.72D-82   59229.8   0(2)    -1(-1)

    **********    Summary of standard correlation matrix analysis   ***********
    File = H641A5FD.F07  N-order= 7   N-sample= 16   Rank= 7   Missing data =  0
    Positiv Definit=Cholesky successful________= No with  1 negat. eigenvalue/s
    HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    5.0394588345069375
    LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____=    4.3368086899420177D-18
    CON: Condition number HEVA/LEVA___________~=    1.1620200923768012D+18
    DET: Determinant original matrix (OMIKRON)_=   -6.0521944228970387D-37
    DET: Determinant (CHOLESKY-Diagonal^2)_____=   -999 (not positive definit)
    DET: Determinant (PESO-CHOLESKY)___________=   -999 (not positive definit)
    DET: Determinant (product eigenvalues)_____=   -5.9518242913044131D-37
    DET: Determ.abs.val.(PESO prod.red.norms)__=    7.1980499862686598D-37
    HAC: HADAMARD condition number_____________=    6.1692821860382305D-39
    HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=    5.2083388769275519D-55
    D_I: Determinant Inverse absolute value____=    1.652293251216018D+36
    HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<=    6.0569163549289598D+117
    HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=    2.7279446411232426D-82
    Highest inverse positive diagonal value____=    8.7207402937168458D+16
      thus multiple r( 4.rest)_________________=    1
      and  3 multiple r > .99
    Highest inverse negative diagonal value____=   -1.0818433882826868D+15
      thus multiple r( 5.rest)_________________=    1 (!)
      and there are  4 multiple r > 1 (!)
     Maximum range (upp-low) multip-r( 5.rest)_=    .088
    LES: Numerical stability analysis:
     Ratio maximum range output / input _______=    59229.755251538215
    PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    0 (<-> Angle = 0 )
    Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    2
    PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ = (Not positiv definit)

     Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min    m|c|    s|c|   N_comp    M-S   S-S
      49    34.4     5.19    1      -.743  .652    .223   210       .267  .183

     class boundaries and distribution of the correlation coefficients
     -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
        0    2    6    4    0    0    4    4    8    21

    Original data with  17, input read with  17, computet with 19,
     and showed with  5 digit accuracy
    (for control here the analysed original matrix):

    Aus-5-Faktoren-rückgerechnete Matrix
     .99975  .79253  .67166  .79972  .37691  .81641 -.74271
     .79253  .99858  .8018   .87168  .68491  .95129 -.42882
     .67166  .8018   .99957  .96065  .34063  .92401 -.29639
     .79972  .87168  .96065  .99906  .48163  .94129 -.5
     .37691  .68491  .34063  .48163  .99996  .48241 -.41461
     .81641  .95129  .92401  .94129  .48241  .99534 -.37781
    -.74271 -.42882 -.29639 -.5 -.41461 -.37781  .99979

     i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
      1.  5.03946   .9999     2.  .95064    .6085       3.  .75552   .5936
      4.  .22089    .1695     5.  .02554    .4239       6.  0        0
      7.  0        -.1427

    The matrix is not positive definit. Cholesky decomposition is not success-
    Eigenvalues in per cent of trace =  6.9920466982559025
      1 .7207   2 .136    3 .1081   4 .0316   5 3.7D-3  6 0
      7 0

    Anmerkung zu dem "sehr" kleinen negativen Eigenwert und den Folgen
    Die vollstaendige Nachkommaausgabe der Eigenwerte ergibt:
    5.0394588345069375
    .95063997598015075
    .75551885824615693
    .22089318183831747
    .025535847684339808
    4.3368086899420177D-18
    -6.7220534694101275D-18 = -.0000000000000000067220534694101275

    Obwohl man diesen negativen Eigenwert für Zahlengenauigkeiten auf PC's als praktisch "klein" bezeichnen kann, führt er doch zu einer Entgleisgung der Matrix und produziert 4 multiple Korrelationskoeffizienten > 1 und eine Reihe von imaginären Werten (negative Zahlen in der Wurzel), nämlich:

    Multiple correlations of original matrix and derived reduced norms (Cholesky)
       r 1.rest     1.0000000000000004      imaginary with radicand 
       r 2.rest     1                       imaginary with radicand 
       r 3.rest     .99999999999999992       1.2264786132315799D-8
       r 4.rest     1                        3.386283569362775D-9
       r 5.rest     1.0000000000000005      imaginary with radicand 
       r 6.rest     1                       imaginary with radicand 
       r 7.rest     .99999999999999995       1.0262465267514404D-8
     

     analysed: 04/21/01 00:52:42  PRG version 05/24/94  MA9.BAS
      Gesamtzeit_____________  47.42
        Rang_____________  0
        Determinante_____  5E-3
        Eigenwerte/Vekt__  0
        Peso Kor+Chol____  .46
        NuStabAnalyse____  .115
        Statistik________  .045

    File = C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\H641A5FD\H641A5FD.SMA
     with data from C:\OMI\NUMERIK\MATRIX\SMA\H641A5FD\H641A5FD.F07
    Date: 04/21/01  Time:00:52:42

    7. Die 3. Matrix-Analyse der aus den 5-Faktoren rückgerechneten 7*7 Korrelationsmatrix, wobei die Hauptdiagonalelemente auf 1 gerundet bzw. gesetzt wurden.
     
    Erläuterungen zur Matrixanalyse: 
    Numerische Laien  hier    und      Professionell Interessierte hier

    Samp  Or  MD  NumS  Condit  Determinant  HaInRatio  R_OutIn  K_Norm   C_Norm
    -1    7   -1   -     6842   .000000054   3.53 D-10   59230    0(2)    .036(2)

    **********    Summary of standard correlation matrix analysis   ***********
    File = H641A5F1.F07  N-order= 7   N-sample=-1    Rank= 7   Missing data = ?
    Positiv Definit=Cholesky successful________= Yes with  0 negat. eigenvalue/s
    HEVA: Highest eigenvalue abs.value_________=    5.0408565187688885
    LEVA: Lowest eigenvalue absolute value_____=    7.3675891530261333D-4
    CON: Condition number HEVA/LEVA___________~=    6841.9348772975862
    DET: Determinant original matrix___________=    5.4283579972084107D-8
    HAC: HADAMARD condition number_____________=    5.523584641276689D-10
    HCN: Heuristic condition |DET|CON__________=    7.9339515715362855D-12
    D_I: Determinant Inverse absolute value____=    18421777
    HDA: HADAMARD Inequality absolute value___<=    5.2094244451973746D+16
    HIR: HADAMARD RATIO: D_I / HDA ____________=    3.5362403469999529D-10
    Highest inverse positive diagonal value____=    788.357293758
      thus multiple r( 4.rest)________________=     .999365569
      and  5 multiple r > .99
    There are no negative inverse diagonal values.
     Maximum range (upp-low) multip-r( 5.rest)_=    .088
    LES: Numerical stability analysis:
     Ratio maximum range output / input _______=    59229.755251538215
    PESO-Analysis correlation least Ratio RN/ON=    4.47D-4 (<-> Angle = .03 )
    Number of Ratios correlation RN/ON < .01__ =    2
    PESO-Analysis Cholesky least Ratio RN/ON__ =    .035615 (<-> Angle = 2.04 )
    Number of Ratios Cholesky RN/ON < .1 _____ =    2

     Ncor  L1-Norm  L2-Norm  Max    Min    m|c|    s|c|   N_comp    M-S   S-S
      49    34.4     5.19    1      -.743  .652    .223   210       .267  .183

     class boundaries and distribution of the correlation-coefficients
     -1  -.8  -.6  -.4  -.2   0    .2   .4   .6   .8   1
        0    2    6    4    0    0    4    4    8    21

    Original input data with  17-digit-accuracy and read with
     17-digit-accuracy (for control here the analysed original matrix):

    Aus-5-Faktoren-rückgerechnete Matrix und Diagonalelemente auf 1 gerundet
     1      .7925  .6717  .7997  .3769  .8164 -.7427
     .7925  1      .8018  .8717  .6849  .9513 -.4288
     .6717  .8018  1      .9607  .3406  .924  -.2964
     .7997  .8717  .9607  1      .4816  .9413 -.5315
     .3769  .6849  .3406  .4816  1      .4824 -.4146
     .8164  .9513  .924   .9413  .4824  1     -.3778
    -.7427 -.4288 -.2964 -.5315 -.4146 -.3778  1

     i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky   i.Eigenvalue  Cholesky
      1.  5.04086   1         2.  .95122    .6098       3.  .7557    .5946
      4.  .22172    .173      5.  .02627    .4351       6.  3.49D-3  .0749
      7.  7.4D-4    .114
     Cholesky decomposition successful, thus the matrix is (semi) positive definit.

     analysed: 13.04.94 00:15:00  PRG version 04/04/94  MA6.BAS
      Gesamtzeit_____________  56

    Vorschau: Dok-02   Augsburger Verwahrlosungsforschungs-Itemliste (PSAG und SchulpsychologInnen) enthält in einer 46*46 Matrix 18 Kollinearitäten: eine empirisch-numerische Sensation und ein Triumpf inhaltlichen Denkens.
     Eine Erklärung der Kennwerte der Matrixanalysen finden professionell Interessierte hier
    Für numerische Laien empfehle ich vorab diese Seite
    Übersichtsseite: Wissenschaft in der SGIPT
    Fn_01  Deutsche Version Kapitel 7.7. aus: Sponsel, Rudolf & Hain, Bernhard (1994). Numerisch instabile Matrizen und Kollinearität in der Psychologie. Diagnose, Relevanz & Utilität, Frequenz, Ätiologie, Therapie.  Ill-Conditioned Matrices and Collinearity in Psychology. Deutsch-Englisch. Übersetzt von Agnes Mehl. Kapitel 6 von Dr. Bernhard Hain: Bemerkungen über Korrelationsmatrizen. Erlangen: IEC-Verlag [ISSN-0944-5072  ISBN 3-923389-03-5]. Aktueller Preis: http://ww.iec-verlag.de
    FN02 sehr, groß und klein in der numerischen linearen Algebra: Angaben, was klein, groß oder nahe bei 0 liegt, haben im Grunde nur einen mathematischen und vernünftigen Sinn, wenn man ein Größenordnungsbezugs- und Kriteriensystem dazu angibt. Ich dachte anfangs oft, Determinanten mit drei Nullem hinter dem Komma seien "klein". Dem muß nicht so sein. Ein Wert mit 100 Nachkomma-Nullen mag uns klein erscheinen, gegenüber einem Wert der 100 Millionen Nachkomma-Nullen, wäre dieser Wert ein "Zahlenriese".  Also: Aussagen "groß" und "klein", "nahe bei 0" usw. sind sehr, sehr relativ. Rein praktisch ist klar, daß Veränderungen, die eine positiv definite Matrix in eine negative definite verwandeln können, erheblich und relevant sind, auch wenn nur eine einzige Nachkommestelle dafür verantwortlich sein sollte. Dr. B. Hain, Mathematiker, Erlangen, gelang hier ein eindrucksvolles numerisches Experiment ('Hain'scher Rundungs-Oszillator'): Es wechselte das Vorzeichen der Determinante einer 3*3 Matrix jenachdem, ob beim Einlesen der Daten auf- oder abgerundet wurde. A.a.O. Kapitel 3 Ätiologie/ Quellen Seite 6. Ich werde ihn bei Gelegenheit in der Abteilung Numerisch Instabile Matrizen veröffentlichen.

    Zitierung
    Sponsel, Rudolf  (DAS).  Dokumentation-01: Ein angemessenes und positives Beispiel für eine Datenreduktion durch Faktorenanalyse Bilanzkennzahlen der Chemischen Industrie in den Jahren 1965 bis 1980. Eine korrelative, faktorenanalytische und numerische Studie. IP-GIPT. Erlangen: http://www.sgipt.org/wisms/fa/D01-he3.htm
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